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TIEMPO COMPLEJO: EL LADO OCULTO DE LA REALIDAD

"No es que el Universo sea más extraño de lo que imaginamos es que es más extraño de lo que podemos imaginar" Werner Heisenberg


Probablemente el libro de divulgación científica más vendido de la historia es

"Breve historia del tiempo" de Stephen Hawking con aproximadamente 10 millones de copias vendidas en todo el mundo. En este libro Hawking menciona un concepto bastante exótico que probablemente haya sorprendido a la gran mayoría de sus lectores: el concepto de tiempo complejo o tiempo imaginario. Este "extraño" concepto ha demostrado ser muy útil para resolver ciertos problemas de física fundamental y es una de las ideas clave para entender el llamado estado de Hartle-Hawking que supone la propuesta más prometedora para describir la creación cuántica del Universo. En este artículo trataremos de explicar paso a paso en que consiste el tiempo imaginario, sus sorprendentes consecuencias y su posible papel en el comienzo de nuestro Universo.


Tiempo imaginario y el efecto túnel cuántico


A continuación veremos uno de los fenómenos más extraños y contraintuitivos de la mecánica cuántica. Consideremos una partícula (por ejemplo un fotón) que se encuentra en el primer valle (punto -a) del denominado potencial de doble campana (potencial cuadrático de la forma x4-2x2+1):











Según la mecánica clásica es imposible que la partícula alcance el punto "a" si no tiene la energía suficiente para superar la barrera de potencial central. Por tanto, en ausencia de la energía necesaria la partícula permanecerá para siempre confinada en el pozo de potencial. Sin embargo, la mecánica cuántica nos dice algo que parece increíble: existe una probabilidad no nula de que la partícula salte "espontaneamente" desde el mínimo "-a" hasta el mínimo "a". ¿Como es esto posible? Este fenómeno se denomina "efecto túnel cuántico".










Analicemos la dinámica de nuestra partícula confinada en el fondo del pozo de potencial. Utilizando el formalismo de la mecánica cuántica podemos calcular la diferencia entre el nivel de energía del estado fundamental (estado de vacío) y el primer nivel de energía permitido de la partícula. Esta energía es del orden de:



Donde A es una constante y g es un parámetro que depende de la profundidad del pozo de potencial. Este valor constituye la mínima cantidad de energía necesaria para hacer "saltar" a la partícula desde el estado de vacío a otro estado de energía. Siguiendo la formulación de la mecánica cuántica de las integrales de camino de Feynman la probabilidad de que una partícula en el mínimo "-a" se propague hasta el mínimo "a" es:





La acción S[x] es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial. Para nuestro pozo de potencial anterior tenemos:



Y la ecuación de movimiento (ecuación de Euler-Lagrange) es por tanto:



Pero ahora nos topamos con un problema que parece insalvable, esta ecuación no tiene soluciones reales (ya que obtenemos la raiz cuadrada de un número negativo) y produce una integral de caminos divergente. Además la acción es imaginaria ya que la solución de mínima energía (mínima acción) que hace "saltar" a la partícula debe cumplir:



Y por tanto tenemos que iS/h=-A/g2h o sea que iS=-A/g2 y por tanto la acción asociada es puramente imaginaria. Esto supone un grave problema porque no podemos resolver el propagador entre -a y +a.


Es ahora cuando las matemáticas empiezan a mostrar su "magia": si nos fijamos en la acción o en la ecuación de movimiento encontramos que todos nuestros problemas derivan del signo negativo. De hecho, si pudiéramos invertir el potencial obtendríamos:












Y entonces ¡La barrera de potencial desaparecería y tendríamos un trayecto de energía cero (y miníma acción) que comunica directamente los puntos -a y a!

La acción de este potencial invertido sería:



Y la ecuación del movimiento sería:



¡Estas son las mismas ecuaciones que en el caso anterior pero cambiadas de signo!

La pregunta es: Analizando las simetrías del sistema ¿Podemos realizar un cambio en las variables implicadas de forma que la solución original sea equivalente a la del potencial invertido? La respuesta es afirmativa, pero el cambio implica usar tiempo imaginario. El cambio que debemos hacer es sustituir (t) por (-it) lo que implica que la acción (S) pasa a ser (iS). Ahora, nuestra mínima acción pasa a ser real y resoluble:

S= A/g2h


La solución a la ecuación de movimiento es:



Estas soluciones se denominan instantones y como veremos poseen características asombrosas.


Instantones, tiempo complejo y el lado oculto de la realidad


Los instantones son soluciones de las ecuaciones de movimiento y deben su nombre al hecho de que están localizadas en un instante de tiempo, es decir, el "salto" se produce en un periodo muy breve de tiempo. De hecho algunos experimentos sugieren que el tiempo "real" transcurrido dentro de la barrera es cero.

Pero, ¿Que significado físico puede tener este tiempo complejo? Cual exploradores de un mundo nuevo y desconocido los físicos se han aventurado recientemente a descubrir sus secretos. Para explorar este mundo oculto los físicos han utilizado recientes avances en el conocimiento de como "complexificar" integrales funcionales y avances en la denominada teoría de resurgencia. La idea clave es utilizar una acción compleja con parte real y parte imaginaria en lugar de usar una acción puramente real o puramente imaginaria. El cambio que debe realizarse es el siguiente:


El parámetro alfa actúa como un "regulador" de forma que para alfa=0 tenemos nuestra acción puramente real y para alfa=PI/2 tenemos la acción puramente imaginaria. Con este cambio la acción es:



Por tanto la ecuación de movimiento es:



Y la solución a la ecuación de movimiento es por tanto:



Para que nuestra modificación en la acción sea válida hay que realizar una "complexificación" del espacio-tiempo utilizando técnicas matemáticas desarrolladas recientemente. Una vez realizada la "complexificación" los "exploradores" comienzan a ver un mundo nuevo, una "realidad oculta":

La primera imagen muestra el espacio "complexificado" para alfa=PI/2 que corresponde a nuestro instanton euclídeo usual en el que solo apreciamos la parte real (los puntos -a y +a representados como -1 y +1) y la parte imaginaria es cero. La segunda imagen corresponde a alfa=PI/4 y en ella comienza a apreciarse un "giro" a través la componente imaginaria. La tercera imagen corresponde a alfa=PI/8 y en ella comienza a apreciarse más claramente la oscilación en la parte imaginaria. El punto clave es el siguiente: a medida que disminuimos alfa y por tanto vamos pasando de un instantón puramente imaginario a uno real observamos que lo que en nuestro mundo "real" es un salto discontinuo es en realidad un camino continuo a través del espacio-tiempo complejo. ¡Esta es la realidad oculta a la que solamente podemos acceder con el poder de las Matemáticas!


¿Que sucede si seguimos bajando el valor de alpha? Para alpha=0,04PI/2 el resultado es el siguiente:










A medida que nos acercamos a alfa=0 el valor comienza a oscilar más y más rápido en torno a los puntos "reales" -a y +a. De esta forma para alfa= 0.001PI/2 obtenemos:









Ahora la oscilación es tan violenta que ¡parece rellenar todo el espacio-tiempo complejo entorno a los puntos -a y +a!


Aún no está clara la interpretación física de estos resultados. Parece que el tiempo complejo está ligado a procesos de túnel cuántico y a procesos de aleatoriedad cuántica


Para finalizar analizaremos brevemente el papel que pudieron tener los instantones en la creación de nuestro Universo.


Tiempo imaginario y el comienzo del espacio-tiempo


Las observaciones cosmológicas indican que nuestro Universo temprano era homogéneo e isótropo y por tanto estaba descrito por la famosa métrica FLRW.

En tiempo conforme la acción viene dada por:



Donde a' y X' son las derivadas del factor de escala del Universo y del valor de un campo escalar respectivamente con respecto al tiempo conforme. La denominada restricción del Hamiltoniano implica que el hamiltoniano total es cero:



Donde tenemos:



Esta expresión nos dice algo fundamental, la suma de los hamiltonianos asociados a los campos de materia Hx y al propio espacio-tiempo Ha es cero:



Donde:




La primera expresión corresponde a un oscilador armónico cuya solución es:



La segunda expresión es un oscilador anarmónico de solución:



El potencial que aparece en esta última expresión es un potencial asociado al propio espacio-tiempo. El punto clave es que este potencial divide el espacio-tiempo en tres zonas diferentes:









Las zonas I y III están descritas por la métrica usual Lorentziana con tiempo real. Sin embargo, la zona II representa una barrera de potencial. En el interior de la zona II el espacio-tiempo es Euclideo y el tiempo es imaginario. Una partícula con energía menor que 4H2C (C=2epsilon) no tendrá energía suficiente para atravesar la barrera de potencial pero podrá superarla a través del efecto túnel cuántico. Es ahora cuando llegamos a nuestro punto clave: nuestro Universo temprano preinflacionario de energía total cero pudo haber surgido a través de un instantón que permitió "atravesar" la barrera del espacio-tiempo Euclideo en el origen del Universo (ver este artículo).

Este estado se conoce como el estado de Hartle-Hawking. De hecho, las soluciones a la llamada ecuación de Wheeler-DeWitt permiten el "salto" desde un Universo cíclico eterno a un Universo en expansión como el nuestro:


Así pues ¿Debemos nuestra existencia y la de todo nuestro Universo al efecto de instantones primordiales? ¿Es en realidad nuestro Universo un Multiverso o un Universo formado a partir de un espacio-tiempo cíclico en continua creación de nuevos Universos? La respuesta puede estar oculta en el concepto de tiempo complejo.



Fuentes:



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