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CAMPOS GAUGE, REALIDAD FISICA Y REALIDAD MATEMATICA

La realidad física es aquella que puede ser detectada con cualquier aparato de medida que pueda ser construido físicamente. Sin embargo, en la configuración de eso que llamamos "realidad" también intervienen magnitudes que no pueden ser medidas de forma directa. Estas magnitudes parecen estar a medio camino entre el mundo físico real y el mundo "idealizado" de las Matemáticas.

En este artículo veremos como la relación entre estas magnitudes "ocultas" y la denominada simetría gauge nos conducen hacia una realidad distinta: una realidad que solo se manifiesta cuando realizamos una medida, es decir, cuando establecemos un sistema de referencia con respecto al cual realizar las medidas. Además veremos como estas magnitudes "ocultas" nos revelan una información que en principio parece totalmente inaccesible, una información no local fuera de nuestra zona causal.

¡Bienvenidos al lado oculto de la realidad!


Simetría gauge


El Lagrangiano de un sistema físico es una magnitud fundamental que nos permite describir la dinámica de dicho sistema. A grandes rasgos el Lagrangiano puede definirse como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial. Supongamos que un sistema de N partículas está definido por el Lagrangiano:



Este Lagrangiano solo depende de la derivada de x respecto de t, por tanto, si incluimos cualquier constante en el Lagrangiano el resultado no cambiará. Esto quiere decir que cualquier Lagrangiano del tipo L+cte producirá los mismos resultados que el Lagrangiano L y por tanto representan al mismo sistema físico.

Este es el significado de la simetría gauge: si modificamos el Lagrangiano de un sistema de forma que este no cambie su valor entonces este Lagrangiano modificado describe el mismo sistema físico. Puesto que tenemos muchos Lagrangianos equivalentes que en realidad describen al mismo sistema físico la simetría gauge representa una redundancia del sistema (aunque como veremos en este artículo hay algo más profundo que una simple redundancia). La existencia de estos sistemas redundantes nos lleva a nuestro principio gauge fundamental: solo las cantidades que permanecen invariantes ante cambios gauge tienen significado físico, estas cantidades se denominan gauge invariantes.

Este principio fundamental ha conducido a los físicos del siglo XX a uno de los mayores logros del conocimiento humano: el modelo estándar de la física de partículas que explica todas las fuerzas fundamentales de la naturaleza excepto la gravedad.

Simetría gauge y la interacción electromagnética


Prácticamente toda la tecnología que existe en nuestro mundo está basada en la interacción electromagnética. La existencia de esta interacción es posible gracias a la simetría gauge U(1). Para tratar de entender esto expondremos de forma sencilla el proceso de interacción entre una partícula cargada y el campo electromagnético.


El Lagrangiano para una partícula libre de masa m es:



Donde:



y el término "gamma" representa las famosas matrices de Pauli que cumplen:



Este Lagrangiano tiene una simetría gauge global U(1) ya que si cambiamos la fase de la función de onda del Lagrangiano un ángulo cualquiera el Lagrangiano permanece inalterado. Esto es debido a que como sabemos por los fundamentos de la mecánica cuántica, las magnitudes físicas como la probabilidad de encontrar la partícula en un punto concreto del espacio-tiempo está dada por el cuadrado del módulo de la función de onda. De hecho sabemos que solamente el módulo tiene significado físico, la fase por tanto no es medible físicamente (1).










La función de onda de una partícula es una función compleja. Todo número complejo se puede representar como un vector formado por un módulo y un ángulo. La simetría U(1) consiste en cambios en la fase (el ángulo) de la función de onda compleja.


El teorema de Noether establece que toda simetría global implica una carga conservada. Por tanto la carga total asociada a la simetría gauge U(1) debe conservarse.


Nuestra partícula libre está completamente aislada del mundo exterior. A todos los efectos es como si nuestra partícula viviese en un Universo vacío sin sistemas de referencia. En este Universo vacío no hay forma de establecer ninguna medida física ya que las posiciones y los momentos necesitan ser medidos respecto a otro sistema físico. Para poder describir la dinámica de cualquier partícula física debemos localizar la partícula en el espacio-tiempo. Esto implica que la fase de la función de onda de la partícula debe variar en función de su movimiento en el espacio-tiempo. Esto equivale a realizar una transformación local, es decir, una transformación en la cual el ángulo de la fase dependa de las coordenadas espacio-temporales.

A continuación vamos a "localizar" nuestra partícula, es decir, vamos a aplicar a nuestra partícula libre una transformación local que consista simplemente en cambiar la fase de la función de onda un ángulo teta(x):



Al aplicar esta transformación en el Lagrangiano y calcular la derivada con respecto a teta(x) obtenemos:







El resultado es que hemos obtenido nuestro Lagrangiano original Lo menos un término extra. Este término extra tiene la forma de una interacción donde Q es el valor de la carga (el acoplamiento). Esto significa que localizar una partícula equivale a realizar una interacción con la partícula (lógicamente cualquier acción física implica irremediablemente una interacción con el sistema medido, en este caso la partícula se localiza con respecto a un punto concreto del campo electromagnético). Al realizar esta transformación hemos roto la simetría gauge U(1) global ya que ahora nuestro Lagrangiano no es invariante ante cambios de fase. Además hemos "añadido" al Lagrangiano una cantidad de carga Q. Sin embargo, la existencia de una carga global conservada implica que debe existir un mecanismo para contrarrestar este nuevo término y su carga asociada. Una forma de restablecer la simetría global sería que al hacer la derivada del ángulo obtuviéramos un término que tuviese la siguiente forma:



Donde A es un campo con simetría U(1) que permanece invariante ante cambios de la fase compleja. La nueva derivada que hemos definido se denomina derivada covariante. Al utilizarla en nuestro Lagrangiano original obtenemos:





Si a continuación volvemos a realizar la transformación gauge local con la nueva derivada covariante. ¡La simetría queda restaurada! Sin embargo, ahora obtenemos una interacción con un nuevo campo A. ¿Qué significa este nuevo campo? Este campo se denomina campo gauge y puede demostrarse fácilmente que la variación de este campo produce el campo de fuerza del campo electromagnético F:



Es decir que F=dA. Esto quiere decir que la restauración de la simetría gauge global y la conservación de su carga asociada ¡ implica la interacción electromagnética !


Inicialmente el campo electromagnético y la partícula están aislados. Existe una simetría gauge global, no hay sistemas de referencia locales.



A continuación se produce la "localización" de la partícula. Esto conlleva una interacción, la ruptura de la simetría gauge global y la aparición una carga extra q


Finalmente la conservación de la carga total implica la restauración de la simetría global con la aparición de una interacción que contrarreste la carga extra. Esta interacción es la fuerza electromagnética.


La importancia de este "nuevo" campo es enorme: es el responsable de toda la tecnología que existe en nuestro mundo. Sin embargo, el campo gauge A no es medible directamente, de hecho solo podemos medir sus componentes gauge invariantes E y B (el campo eléctrico y el campo magnético).¿Como es posible que el campo fundamental del cual se derivan todas las leyes de la interacción electromagnética sea un campo indetectable? Si este campo es solo una redundancia ¿Como es posible que todas estas leyes fundamentales se deriven de el?


Aunque es posible derivar el campo de fuerza electromagnético sin hacer referencia al campo gauge existen fenómenos como el efecto de Aharonov-Bohm que son imposibles de explicar sin hacer referencia a los potenciales del campo gauge. Además mientras que el Lagrangiano de una partícula libre es gauge independiente (dA=0) ya hemos visto que el Lagrangiano de una partícula que interacciona con el campo electromagnético es:

Esto significa que no es gauge invariante ya que este se acopla al campo A no a los componentes gauge invariantes E y B. Esto parece indicar que el campo gauge es más que una mera redundancia (2): este campo contiene los posibles valores con los que es posible acoplar la partícula al campo electromagnético de forma que cuando se produce una interacción se selecciona uno de los valores posibles: el valor que medimos físicamente.


Interacciones, entrelazamiento, realidad global y realidad local


Existe una sencilla expresión de la cual se puede derivar toda la Mecánica Cuántica: [q,p]=ih. Esta expresión nos dice que las magnitudes q y p que representan la posición y el momento de una partícula no tienen una existencia independiente, es decir, el producto cartesiano usual qxp que consiste en multiplicar los estados de q por los estados de p no es válido en este caso (por eso en mecánica cuántica necesitamos usar el producto tensorial). En mecánica cuántica al multiplicar los estados de q por los estados de p encontramos que hay más estados de los que inicialmente había en q y p. Estos nuevos estados son estados de interacción, más concretamente, son estados de entrelazamiento entre q y p. La conclusión fundamental es la siguiente: ciertas magnitudes como la posición y el momento de una partícula no tienen una existencia independiente sino que solo existen de forma superpuesta o entrelazada. Además esta existencia solo se manifiesta cuando se realiza una medida, por eso siempre que hacemos una medición obtenemos un término extra: el término de interacción relacionado con la simetría gauge. Por esto la simetría gauge es tan omnipresente en la física fundamental: representa un término de interacción y la realidad física solo se manifiesta cuando hay interacciones (3).


La existencia de estas magnitudes entrelazadas tiene una consecuencia fascinante: aunque por el principio de la relatividad ninguna interacción puede propagarse más rápidamente que la luz podemos realizar medidas estadísticas de magnitudes correlacionadas y obtener así información no local que está fuera de nuestra realidad causal. El ejemplo mejor conocido de esto es el entrelazamiento entre dos partículas creadas con momentos opuestos: al medir el spin de una de ellas automáticamente conocemos el spin de la otra aunque se encuentre a años luz de distancia. Por esto se dice que la mecánica cuántica predice la existencia de efectos no locales. Otra forma de ver esto es a través de las integrales de camino de Feynman: en esta formulación de la mecánica cuántica debemos considerar todos los trayectos posibles entre dos puntos y calcular la interferencia entre la amplitud compleja de estos caminos de forma los trayectos con fase opuesta se cancelan. Esto nos indica que aunque la fase no es medible localmente al medir una sola partícula si se puede detectar estadísticamente midiendo variables correlacionadas o entrelazadas. Los físicos pueden utilizar estos efectos para estudiar características globales de nuestro Universo como por ejemplo la topología global del mismo. Una vez más, la física moderna armada con el poder de las Matemáticas nos permite llegar hasta sitios que parecen imposibles de explorar.



Realidad Física y realidad Matemática


El físico y filósofo Ernest Mach defendía el carácter relativo de la física: toda magnitud medida debe definirse respecto a un sistema de referencia, es decir, no existen las magnitudes absolutas toda magnitud está definida respecto a "algo más" (un sistema físico de referencia). La admiración de Einstein por Mach era tal que uno de sus objetivos fundamentales fue tratar de introducir el principio de Mach en la Relatividad General. Más de un siglo después, la física moderna parece respaldar esta visión de Mach.


La simetría gauge nos indica que en nuestras teorías físicas fundamentales existe una "ambigüedad" o redundancia: muchos Lagrangianos diferentes representan en realidad al mismo sistema físico. Esta ambigüedad desaparece en cuanto establecemos un sistema de referencia, es decir, cuando realizamos una medida. La medida implica un término de interacción entre dos sistemas. La simetría gauge dicta la forma en que estos sistemas pueden acoplarse, por esto, su papel en la configuración de la realidad parece ser más profundo que el de una simple redundancia.


Nuestras teorías modernas sobre gravedad cuántica parecen indicar que el entrelazamiento cuántico está ligado a la conectividad del espacio-tiempo, lo que implica una dualidad cuántica entre entrelazamiento y gravedad (dualidad ER=EPR). Todo esto nos conduce a un Universo conectado a través del entrelazamiento cuántico de forma que aunque no es posible enviar información de forma superlumínica si podemos detectar ciertos fenómenos no locales. De hecho, la explicación más convincente de ciertos fenómenos fundamentales como la paradoja de la información en agujeros negros proviene de la existencia de fenómenos no locales como los agujeros de gusano (ver este artículo).


Una vez más, la física moderna nos demuestra que nuestra ingenua y cotidiana visión del mundo que nos rodea es solo una tosca aproximación a la verdadera realidad: una realidad asombrosa que desafía nuestra capacidad de visualización.


Notas:


(1) Como se explica también en el artículo la fase aunque no es medible en una sola partícula puede detectarse estadísticamente al medir magnitudes entrelazadas.

(2) Existe una controversia sobre el verdadero significado de la simetría gauge. La versión que exponemos en este artículo esta basada en el artículo de Carlo Rovelli "Why Gauge?" que se indica en el apartado "fuentes"

(3) Esta interpretación está alineada con la visión de la física relacional expuesta en el artículo "Why Gauge?" citada al final de este artículo.


Fuentes:








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