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EL ESTADO DE HARTLE HAWKING Y LA CREACIÓN DEL UNIVERSO

Nuestro modelo cosmológico estándar incluye un periodo brevísimo de expansión exponencial denominado inflación cósmica que finalizó en la gran explosión del Big-Bang. Para intentar comprender que pudo suceder en el instante mismo de la creación del Universo debemos estudiar que sucedió justo en el comienzo de este periodo inflacionario. A primera vista esta tarea parece fuera del alcance de la ciencia y por tanto inaccesible para el conocimiento humano, sin embargo, los físicos teóricos, armados con la "herramienta" más poderosa que existe (las Matemáticas) son capaces de lograr cosas realmente increíbles. En este artículo estudiaremos detalladamente como dos Físicos consiguieron la increíble proeza de proponer un modelo factible y comprobable sobre la creación cuántica de nuestro Universo. A fecha de hoy, este modelo permanece como una de las propuestas más interesantes y convincentes para explicar el origen de nuestro Universo. ¡Bienvenidos al instante mismo de la creación de todo lo que existe!


El experimento de la doble rendija y la suma de trayectorias de Feynman


Antes de tratar de explicar como pudo producirse la creación (cuántica) de nuestro Universo debemos empezar por lo más básico: la mecánica cuántica. Se pueden destacar tres formulaciones diferentes pero equivalentes de la teoría de la Mecánica Cuántica: la formulación matricial de Heisenberg, la formulación "estándar" ondulatoria desarrollada por Schrödinger y la formulación basada en integrales de camino de Feynman. En este apartado nos basaremos en esta última.


Consideremos el famoso experimento de la doble rendija:

La probabilidad de que la pantalla registre el electrón cuando solo la rendija 1 está abierta es P1 mientras que la probabilidad cuando solo la rendija 2 está abierta es P2. Clásicamente esperaríamos encontrar que la probabilidad total P sea la suma de ambas probabilidades P=P1+P2 pero lo que realmente encontramos es:



Donde Psi 1 y Psi 2 son dos funciones complejas, es decir, funciones con parte real y parte imaginaria o equivalentemente funciones con módulo y argumento. La probabilidad final es la suma de los módulos (amplitudes) de dichas funciones complejas. El valor de una amplitud individual puede escribirse como:



Donde S es el valor de la acción. Por tanto, en el experimento de la doble rendija, para calcular la probabilidad correcta debemos evaluar dos trayectos diferentes con acciones S1 y S2:



A continuación nos preguntamos ¿Qué sucede si abrimos más rendijas? Si abrimos n rendijas las probabilidades serán:





Es decir la probabilidad total se calcula considerando todos los caminos posibles (rendijas) entre la fuente y la pantalla. Finalmente podemos considerar el caso más general: el de la propagación de una partícula libre. En este caso consideramos el hecho de que la pantalla puede estar situada a cualquier distancia y podemos imaginar toda una matriz de pantallas situadas a muchas distancias posibles con muchas rendijas infinitesimales. En este caso encontramos que la probabilidad es:




Donde x se refiere a la posición de la partícula. Esta es la famosa integral de caminos de Feynman y expresa la visión de la mecánica cuántica que Feynman descubrió: la probabilidad de que una partícula se propague del punto A al punto B en un cierto intervalo de tiempo es igual a la suma de las amplitudes asociadas a todos los posibles caminos entre A y B. Si consideramos distancias macroscópicas la acción es mucho mayor que h y la exponencial varía muy rápidamente lo que produce que los trayectos cercanos interfieran destructivamente y se cancelen. De esta forma, solo la trayectoria clásica sobrevive: la trayectoria donde la variación de la acción es nula (cumpliendo así con el principio Universal de mínima acción). Como veremos esta expresión esconde algo muy profundo sobre la propia naturaleza del espacio-tiempo.


La integral de caminos gravitacional


Si queremos estudiar el comienzo del Universo debemos incorporar la gravedad en nuestra integral de caminos anterior. Como la gravedad es en realidad el movimiento del propio espacio-tiempo, la forma de conseguir esto es considerar cada posible trayecto como un espacio-tiempo individual e independiente. Es decir, cada posible trayecto entre A y B se correspondería con un espacio-tiempo propio de forma que la función que evaluamos es una superposición cuántica de todos ellos. De esta forma, la función de onda total se comportaría como una función de onda de todos los trayectos posibles. Los trayectos cercanos interfieren destructivamente y se cancelan de forma que, a grandes distancias, solo la trayectoria clásica sobrevive. La expresión que representa esta superposición de espacio-tiempos se denomina integral de caminos gravitacional y es la herramienta más comúnmente usada en todas las aproximaciones de gravedad cuántica:



Esta expresión significa que para calcular la probabilidad de transición desde un espacio-tiempo de métrica gmv en un instante A hasta otro con la misma métrica en el instante B debemos sumar todos los espacio-tiempos o "trayectos" posibles entre A y B. Debido al factor S/h esta suma es una suma ponderada, es decir, algunos trayectos tienen una probabilidad más alta que otros.











Izquierda: Para calcular la probabilidad de que una partícula que se encuentra en A en el instante t=0 se propague hasta B en el instante t=1 hay que considerar todos los trayectos posibles entre A y B. Derecha: Para calcular la probabilidad de que un espacio-tiempo de métrica hij en el instante t=0 evolucione hasta una geometría con la misma métrica en el instante t=1 debemos considerar todos los espacio-tiempos posibles entre t=0 y t=1.


El estado de Hartle-Hawking y la creación del Universo


Los físicos James Hartle y Stephen Hawking decidieron aplicar la integral de caminos gravitacional a nuestro Universo como un todo. El "punto A" de la integral sería el instante inicial del Universo con un volumen tridimensional que tiende a cero, el "punto B" sería un Universo como el que observamos actualmente: un espacio-tiempo que se expande aceleradamente. Las observaciones cosmológicas nos indican que nuestro Universo comenzó en un estado altamente homogéneo e isótropo y sabemos que actualmente estamos en un estado de lenta expansión acelerada (espacio-tiempo

De-Sitter), por tanto, tenemos que incluir en la integral todos los espacio-tiempos que comienzan en el estado más simple posible y terminan en un espacio-tiempo tipo

De-Sitter. El problema ahora es: ¿Cuáles son las condiciones iniciales que debemos considerar en la integral?


El estado más simple posible es el estado de vacío (estado de mínima energía). En teoría cuántica de campos el estado de vacío se suele especificar mediante una integral Euclidea. En una integral Euclidea hacemos el cambio de variable t=it de forma que la métrica Lorentziana S2=(x1)2+(x2)2+(x3)2-t2 se transforma en S2=(x1)2+(x2)2+(x3)2+t2 y todos los componentes de la métrica son positivos (métrica Euclídea). Hartle y Hawking se dieron cuenta de que si utilizaban un espacio-tiempo Euclídeo en lugar de la métrica de Lorentz resolvían el problema de las condiciones iniciales: la singularidad inicial desaparece y con ella desaparecen los bordes o fronteras del origen del Universo. De esta forma ¡no es necesario especificar las condiciones iniciales! En el espacio-tiempo Euclídeo tanto el espacio como el tiempo pueden tomar valores complejos y se comportan de forma idéntica. Esto puede representarse, por ejemplo, de esta forma:

Imagen extraída de este artículo. En el espacio-tiempo Euclideo tanto el espacio como el tiempo tienen una geometría esférica y por tanto no poseen bordes o fronteras.


La consecuencia más impactante de esto es que de forma similar al hecho de que no hay nada más allá del polo sur en una esfera, no existe un borde o frontera, no existe una singularidad espacio-temporal, el Universo es autocontenido tanto en el espacio como en el tiempo.


Llegados a este punto la pregunta clave sería: ¿Qué espacio-tiempos debemos incluir en la integral? Como en el estado inicial estamos considerando métricas Euclideas la respuesta más natural es: espacio-tiempos Euclideos compactos, es decir, espacio-tiempos continuos que evolucionan de forma suave (esto es geometrias de topología trivial sin "roturas" ni agujeros). Con estas condiciones los dos grandes Físicos llegaron a la siguiente expresión:




Donde N es una constante de normalización y IE es la acción Euclidea. Esta es la famosa función de no contorno de Hartle-Hawking. Esta integral de caminos gravitacional implica una transición desde una geometría Euclídea de volumen cero (la nada absoluta entendida como la ausencia de campos y de espacio-tiempo) hasta una geometría tipo De-Sitter. Como podemos ver en la expresión anterior la suma está determinada por la acción euclídea IE. Las soluciones de la acción euclidea vienen dadas por:



Estas soluciones se denominan instantones. Al igual que en los procesos de mecánica cuántica usual los instantones representan un proceso de túnel cuántico. En los procesos de túnel cuántico usuales un campo cuántico puede atravesar una barrera de potencial prohibida clásicamente. La probabilidad de que esto ocurra es finita y viene dada por una cantidad asociada a los instantones. En el caso de la función de no frontera de Hartle y Hawking los instantones representan la probabilidad de "saltar" desde un espacio-tiempo Euclideo de volumen cero hasta un espacio tiempo De-Sitter de factor de escala "a":

Izquierda: La flecha verde representa el proceso de túnel cuántico a través de un espacio-tiempo euclídeo (esta es la "barrera de potencial" prohibida clásicamente) desde una geometría de volumen 0 hasta una geometría de factor de escala "a" (en la figura se considera H=1). Derecha: geometría del famoso instantón de la función de no frontera. La parte morada representa la geometría euclidea y la parte verde es el espacio-tiempo De-Sitter que se expande con un factor de escala "a".


Los físicos Stephen Hawking y James Hartle. Hawking falleció hace poco más de cinco años en Cambridge mientras que Hartle murió hace unos pocos meses en Suiza. A pesar de ello, sin ninguna duda, su legado es inmortal y quizás eterno y sin fronteras como el Universo que ellos descubrieron (quizás nuestro Universo real).


El estado de Hartle-Hawking y el problema del tiempo


La propuesta de Hartle-Hawking es una solución a la denominada Ecuación de Wheeler-DeWitt (ecuación de WdW). Esta última ecuación es el equivalente a la ecuación de Schrodinger aplicada a la función de onda del Universo: H|psi>=0 . Esta expresión nos dice que el hamiltoniano total del Universo (materia más espacio-tiempo) es cero, lo que implicaría que la energía total del Universo es cero. Esto sería posible porque la energía positiva de los campos de materia cancela la energía negativa asociada el campo gravitatorio. Esto respaldaría la visión de un Universo surgido de un proceso de túnel cuántico desde un estado de vacío. A primera vista parecería que la ecuación de Wheeler-DeWitt implica también que no existe evolución en el Universo, el Universo parece estar congelado. Si analizamos más detenidamente la ecuación de Wheeler-DeWitt veremos que en realidad la dinámica está incluida en las restricciones del Hamiltoniano. Sin embargo, ninguna de estas expresiones nos dice nada sobre el origen del paso del tiempo. ¿Por que el tiempo parece fluir inexorablemente del pasado al futuro? La propuesta de Hartle y Hawking podría darnos una importante pista sobre esta cuestión trascendental. La función de onda del Universo tiene esta forma general:



Si expandimos la ecuación de Wheeler-DeWitt en potencias de h obtenemos:




Si observamos la primera ecuación podemos descubrir el concepto clave: si la fase S varía mucho más rápidamente que la amplitud W entonces recuperamos el comportamiento clásico ya que obtenemos la función hamiltoniana clásica:



Esta es la clave de porque el mundo es clásico a escalas mayores que h: el mundo clásico aparece cuando la fase de la función de onda del Universo varía mucho más rápido que la amplitud. Cuando este requisito fundamental se cumple obtenemos que la solución de la función de onda del Universo es:



Si ahora consideramos un subsistema (el sistema solar por ejemplo) con Hamiltoniano H2 cuyo valor es despreciable con respecto al Hamiltoniano total del Universo entonces la ecuación de Wheeler-DeWitt es ampliada simplemente añadiendo H2 :




Si expandimos de nuevo en potencias de h obtenemos:



Ahora llegamos al punto crucial, si hacemos la siguiente identificación:



Entonces obtenemos la ecuación de Schrodinger con su evolución temporal asociada para el subsistema H2:




¡ Hemos obtenido la evolución temporal del subsistema partiendo de la función del Universo sin evolución temporal asociada ! Esta evolución temporal estaría ligada a la variación de la que es probablemente la magnitud más importante y trascendente de la física fundamental: la acción.

Stephen Hawking con sus dos hijos Tim y Lucy. El gran físico fue diagnosticado de esclerosis lateral amiotrófica con solo 21 años y tubo que luchar toda su vida contra esta terrible enfermedad. Una vez afirmó: "Si eres discapacitado céntrate en aquello que puedas hacer bien y no te lamentes por lo que no". A pesar de que su cuerpo tubo que estar inmóvil en su silla de ruedas su mente consiguió llevarle hasta donde nadie había siquiera concebido llegar: hasta el instante mismo de la creación del Universo.


Por último nos queda la pregunta final: ¿Como pasamos del Universo Euclideo inicial a nuestro Universo clásico Lorentziano de expansión acelerada? Para que esto suceda se debe cumplir nuestro requisito fundamental: que la fase varíe mucho más rápido que la amplitud. ¿Que posibles evoluciones desembocan en geometrías que cumplen este requisito? La respuesta es sorprendente y fascinante: Solo las evoluciones que incluyen un periodo de inflación cósmica cumplen con este requisito (durante la inflación el espacio se expande muy rápido y por tanto la fase varía mucho más rápido que la amplitud). De esta forma la propuesta de no borde predice un periodo de inflación cósmica que desemboca en un espacio-tiempo De-Sitter como el nuestro.


Imagen extraída de este artículo


Uno de los físicos más grandes de todos los tiempos, el gran Paul Dirac, ya intuyó que el estado altamente homogéneo e isótropo de los comienzos del Universo probablemente implicaría que el Universo tubo que surgir de un estado de vacío mediante un proceso similar al túnel cuántico cuando en un discurso en 1939 exclamó lo siguiente:

"Con la nueva cosmología, el Universo debe haber comenzado de alguna manera muy simple. ¿Qué sucede entonces con las condiciones iniciales requeridas por la teoría dinámica? Claramente no puede haber ninguno, o deben ser triviales. Nos quedamos en una situación que sería insostenible con la mecánica antigua. Si el universo fuera simplemente el movimiento que se sigue de un esquema dado de ecuaciones de movimiento con condiciones iniciales triviales, no podría contener la complejidad que observamos. La mecánica cuántica proporciona un escape de la dificultad. Nos permite atribuir la complejidad a los saltos cuánticos, que se encuentran fuera del esquema de ecuaciones de movimiento"


Conclusiones: las consecuencias del estado de Hartle-Hawking


El estado de Hartle-Hawking explica de forma asombrosamente simple muchas de las características fundamentales de nuestro Universo:


1º) Las observaciones cosmológicas indican que el Universo temprano era homogéneo e isótropo. Esto implica que el Universo tuvo que surgir de un estado muy simple pero capaz de producir después las inhomogeneidades observadas. El efecto túnel del estado de Hartle-Hawking es capaz de explicarlo.

2º) Explica porque la entropía inicial y la energía total es cero.

3º) Explica como la inflación cósmica tubo que surgir como transición desde una geometría Euclidea a una geometría Lorenziana.

4º) Evita la singularidad inicial y el problema de las condiciones iniciales: no existe borde ni frontera.

5º) Explica como el espacio-tiempo clásico llega a dominar después de la etapa de geometría Euclídea e inflación cósmica.


La visión global de todo esto es entonces la siguiente: A partir de un estado inicial donde el espacio-tiempo clásico no existe (espacio-tiempo imaginario o geometría Euclidea) nuestro espacio-tiempo real surgió por efecto túnel hacia un estado de energía y entropía cero. Después de este estado una etapa de inflación cósmica aumentó exponencialmente el volumen del Universo y desembocó en el Big-Bang donde apareció el espacio-tiempo clásico y la materia. La geometría inicial Euclidea es "atemporal" en el sentido clásico y la función de onda del Universo representa realmente una "superposición de Universos" por ello, de alguna forma podemos decir que el estado de Hartle-Hawking representa realmente una especie Multiverso eterno donde la creación de Universos clásicos puede suceder de forma continua y eterna.



Fuentes:



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