LOS "ATOMOS" DEL ESPACIO-TIEMPO
¿Qué es el espacio-tiempo? ¿Es fundamental o emergente? ¿Es continuo o discreto? ¿Cuáles son sus componentes fundamentales?
Mucha gente pensará que la ciencia no puede dar respuesta a estas preguntas y que estas solo pueden tener sentido en el ámbito de la filosofía o la metafísica. En este artículo demostraremos que esta gente está equivocada.
Como hemos reiterado muchas veces en este blog aún no poseemos una teoría cuántica de la gravedad pero tenemos varias teorías candidatas. En este artículo trataremos de conseguir algo realmente fascinante: nada más y nada menos que contemplar la emergencia del espacio-tiempo a partir de elementos cuánticos fundamentales. Este artículo se basa en principios básicos de la mecánica cuántica y la relatividad general y no contiene elementos “exóticos” ni oscuros desarrollos matemáticos. Las herramientas teóricas que usaremos son las de la aproximación covariante de la teoría de la Gravedad Cuántica de Bucles. Si el lector está interesado en conocer si la física actual puede explicar la naturaleza cuántica del espacio-tiempo este artículo es la respuesta.
¡Bienvenidos a lo más profundo de la realidad física, bienvenidos a los átomos del espacio-tiempo!
Nota general: En este artículo hablaremos siempre desde el punto de vista de la teoría de la Gravedad Cuántica de Bucles, por lo que todas las afirmaciones que se exponen a continuación deber ser entendidas dentro de este marco teórico. Además, por simplicidad en este artículo nos basaremos en un espacio-tiempo 3D, en 4D las ideas generales siguen siendo válidas aunque los desarrollos matemáticos son más complejos. Por último, hay que destacar que el desarrollo que presentamos es un ejemplo de como el espacio-tiempo puede surgir a partir de elementos cuánticos fundamentales y no constituye una teoría completa de nuestro Universo real 4D.
El espacio-tiempo como un objeto físico
Lo primero que tenemos que tratar de asimilar es que el espacio-tiempo es un objeto físico. La relatividad general nos muestra que el espacio-tiempo y el campo gravitatorio son el mismo campo, por tanto, el espacio-tiempo no es algo "inmaterial" sino que es una entidad física medible y cuantificable. Las teorías de gravedad cuántica aspiran a lograr describir las propiedades cuánticas del campo gravitatorio. Este campo, sin embargo, es muy especial: puesto que todos los otros campos se acoplan al campo gravitatorio, la dinámica de este campo determina la geometría de todos los objetos físicos que existen en el Universo. Es decir, para determinar la geometría de cualquier entidad física hay que tener en cuenta la dinámica del campo gravitatorio, esto es, la geometría del propio espacio-tiempo (1). Este es el primer concepto que debemos asimilar para tratar de adentrarnos en el mundo de la gravedad cuántica: la dinámica del campo gravitatorio es la dinámica del propio espacio-tiempo y los físicos creen que debe estar cuantificada como el resto de campos cuánticos. Además, la dinámica de este campo determina la geometría de todos los objetos que existen en el Universo.
Cuantizando un "pedazo de geometría"
Tomemos un pequeño "trozo de geometría" clásica como por ejemplo un tetraedro. Este "pedazo de espacio-tiempo" está determinado por la longitud de sus lados, el área de sus caras, su volumen, los ángulos internos, etc. Todas estas magnitudes físicas son funciones del campo gravitatorio y como este es un campo cuántico todas estas magnitudes deben de estar cuantizadas. A continuación nos preguntamos ¿Cómo podríamos cuantizar una unidad mínima de geometría como por ejemplo un tetraedro?
La respuesta es más sencilla de lo parece a primera vista: simplemente usaremos cuatro vectores. Cada uno de estos vectores es 1/2 del producto vectorial de los dos lados que forman cada una de las caras triangulares del tetraedro:
Aunque a primera vista no lo parezca, con estos cuatro vectores queda completamente definida la geometría del tetraedro:
La norma del vector L es el área de la cara del tetraedro.
La suma de los cuatro vectores es cero.
Los módulos de los vectores son invariantes ante el grupo de rotaciones del tetraedro.
El volumen del tetraedro viene dado por: V2=2/9 (L1XL2)L3.
Estas propiedades de los 4 vectores determinan la geometría clásica del tetraedro. Pero, ¿Cómo podemos cuantizar estas magnitudes clásicas? La respuesta es sorprendente. Resulta que los cuatro vectores La tienen otra propiedad especial: si los multiplicamos entre si cumplen las siguientes relaciones de conmutación:
Es posible que al lector le suenen estas relaciones: son las relaciones de conmutación de los operadores cuánticos del momento angular. De esta forma, hemos cuantizado las magnitudes que determinan completamente la geometría del tetraedro.
Esto implica una relación directa entre el momento angular y el área de los triángulos que forman el tetraedro. Este área no puede tomar cualquier valor ya que está determinado por los operadores cuánticos del momento angular y por tanto está cuantizado. Los valores permitidos son precisamente los autovalores del operador del momento angular:
En gravedad cuántica de bucles se puede determinar el valor de la constante lo y obtener una expresión concreta para el área:
Donde la constante gamma es la denominada constante de Barbero–Immirzi y lp es la longitud de Planck. ¡ Acabamos de cuantizar un trozo de espacio-tiempo ! (2)
A continuación nos preguntamos: ¿Porqué un tetraedro?, ¿Qué relación tiene este "pedazo de geometría" con la Relatividad General?
Discretizando la relatividad general
Una discretización de un espacio-tiempo continuo es una aproximación que se realiza truncando los grados de libertad de la teoría y utilizando solamente un número finito de elementos (por ejemplo utilizando una rejilla). El límite continuo se obtiene cuando hacemos tender estos elementos a infinito. Se puede demostrar matemáticamente que toda geometría de Riemann (las geometrías diferenciables) puede discretizarse utilizando una generalización de una triangulación. Por ejemplo, en dos dimensiones toda superficie puede aproximarse tan exactamente como se requiera realizando una triangulación:
Cuantos más triángulos utilicemos mejor será la aproximación de modo que si utilizamos un número de triángulos que tiende a infinito obtenemos la descripción geométrica exacta de la superficie. Este método se denomina cálculo de Regge.
Imaginar que dibujamos todos los triángulos adyacentes a un punto P cualquiera de la triangulación:
De la geometría elemental tenemos que el ángulo adyacente al punto P del triángulo es:
Si la suma de los ángulos de estos triángulos que rodean el punto P es 360º entonces la superficie es plana, si es mayor entonces tiene curvatura negativa y si es menor tiene curvatura positiva. De esta forma obtenemos la información sobre la curvatura de todos los puntos de la superficie. El ángulo déficit será la diferencia entre 360º y la suma de todos los ángulos de los triángulos que rodean al punto P.
Si en lugar de una superficie 2D tenemos una geometría 3D entonces debemos utilizar tetraedros en la discretización, sin embargo, las ideas clave son las mismas que en 2D:
Sabemos que la acción de Einstein-Hilbert de la Relatividad General es:
En esta acción aparece la curvatura R, la métrica y la una unidad de volumen cuatridimensional. De forma similar la acción de Regge deberá incluir la curvatura, la geometría y la unidad de volumen 3D (en este artículo solo analizaremos la geometría tridimensional). Como vimos anteriormente la curvatura viene dada por el ángulo déficit, por tanto la acción de Regge vendrá dada por:
Ah es la altura del triángulo, Ls la longitud de sus segmentos y delta es el ángulo déficit. Se ha demostrado matemáticamente que cuando el número de elementos tiende a infinito la acción de Regge tiende a la acción de Einstein-Hilbert de la Relatividad General. Como veremos a continuación esta acción jugará un papel fundamental en la emergencia del espacio-tiempo cuántico.
Por último, siguiendo la formulación de la integral de caminos de Feynman, la amplitud de transición entre dos estados cuánticos gravitatorios puede expresarse mediante una suma sobre las distintas configuraciones geométricas permitidas:
Teniendo en cuenta que los elementos de la discretización están asociados a representaciones del grupo SU(2), y realizando los cálculos correspondientes, llegamos a una expresión en la que aparece el denominado símbolo 6j de Wigner:
Este símbolo se obtiene mediante la contracción de cuatro símbolos 3j de Wigner. Los símbolos 3j son tensores invariantes que permiten combinar tres representaciones del grupo SU(2), esto es básicamente el acoplamiento entre 3 momentos angulares.
Los cuatro símbolos 3j pueden representarse geométricamente asociados a las cuatro caras triangulares de un tetraedro. Al contraerlos entre sí, los seis espines que intervienen en el resultado se corresponden con las seis aristas del tetraedro.
De esta forma, la amplitud asociada a este tetraedro tiene una estructura puramente combinatoria: se construye a partir de las posibles combinaciones de espines y de las reglas de acoplamiento permitidas por el grupo SU(2)
En Gravedad Cuántica de Bucles se utiliza una estructura matemática denominada "2-complejo", que puede construirse a partir de una triangulación y su correspondiente complejo dual. En esta representación, los tetraedros de la triangulación original se sustituyen por vértices duales, las caras triangulares por enlaces y las aristas por caras duales. Cada enlace dual está asociado a una cara triangular y está rodeado por tres caras duales, que llevan las tres etiquetas de espín correspondientes a las aristas de ese triángulo.
En la imagen superior se simbolizan los 3 espines que representan el acoplamiento entre 3 momentos angulares.
Relación entre los elementos de la triangulación original (arriba) y los elementos equivalentes en el complejo dual (abajo). A cada vértice dual llegan cuatro enlaces, correspondientes a las cuatro caras del tetraedro original. Cada uno de estos enlaces lleva asociado un símbolo 3j cuyos tres espines corresponden a las tres aristas de la cara triangular original. La contracción de los cuatro símbolos 3j, compartiendo los seis espines correspondientes a las seis aristas del tetraedro, produce el símbolo 6j de Wigner, que constituye la amplitud asociada al vértice en el modelo de Ponzano–Regge.
La emergencia del espacio-tiempo a partir de elementos fundamentales
Es ahora cuando llegamos al punto clave del artículo y donde surge "el milagro" de la emergencia del espacio-tiempo. Como si estuviéramos contemplando una "opera magna" a continuación presenciaremos en tres actos nada más y nada menos que la emergencia del espacio-tiempo clásico a partir de elementos cuánticos fundamentales:
1º) El límite clásico de la amplitud de probabilidad cuántica
El símbolo 6j de la amplitud de transición que vimos anteriormente consiste en una suma de números factoriales:
Donde el número z es un número complejo que describe todas las formas posibles en las que los 3 momentos angulares pueden acoplarse. Los primeros términos también contienen factoriales:
Por tanto el término 6j es un largo sumatorio de números factoriales.
Para analizar el límite clásico debemos estudiar que sucede cuando el momento angular total j se hace muy grande (el mundo macroscópico contiene un enorme número de partículas) ,de esta forma, el símbolo 6j se compondrá de una enorme suma de números factoriales. Para j tendiendo a infinito el teorema de Stirling nos dice que los factoriales se comportan como exponenciales:
Al sustituir los factoriales por exponenciales obtenemos que la amplitud tiende a ser:
Donde F(z) es una función compleja. Esta es la primera clave del primer acto: para valores muy grandes de j las enormes sumas combinatorias se comportan como exponenciales. De esta forma empezamos a vislumbrar como empieza a emerger una estructura similar a la integral de caminos gravitacional.
2º) La interferencia de la fase de la función de onda cuántica
Toda función compleja F(z) se compone de un módulo (amplitud) y una fase:
Donde A es la amplitud y S es la fase. Para valores reales de z la función tiene un pico muy pronunciado en valores muy concretos. Para valores de z complejos que son los que aquí nos interesan la función es oscilatoria y como z es muy grande la oscilación es muy rápida. Es ahora cuando llegamos al punto crucial: al igual que sucede en la integral de caminos de Feynman (ver este artículo) en las zonas donde la fase varía muy rápido las fases se cancelan (las "flechas" que representan la orientación de la fase apuntan en direcciones aleatorias de forma que tienden a cancelarse) de esta forma solo permanece una zona muy concreta, la zona donde la fase es estacionaria es decir donde dS/dz=0.
Izquierda: para valores reales de x obtenemos un pico (función delta de Dirac)
Derecha: para valores imaginarios de x la función oscila violentamente. Las fases opuestas se cancelan y solo sobrevive una pequeña región: la región que formará el espacio-tiempo clásico.
Ahora ya empezamos a comprender como la naturaleza selecciona valores muy concretos a partir de una inmensa combinación de números. ¡El espacio-tiempo clásico está empezando a emerger!
3º) La emergencia del espacio-tiempo a partir de los estados cuánticos j
Llegados a este punto la pregunta es: ¿Qué sucede cuando calculamos dS/dz=0? Este cálculo arroja un resultado asombroso, la expresión resultante puede escribirse como:
Si nos fijamos bien en esta expresión resulta que es precisamente ¡la ley que determina los ángulos de un tetraedro! Esto es realmente impresionante: partiendo de unos estados cuánticos que determinan una estructura puramente combinatoria (los estados del momento angular) hemos obtenido, cuando j es muy grande, un "trozo" de geometría clásica. ¡Acabamos de presenciar la emergencia del espacio-tiempo a partir de elementos cuánticos fundamentales!
Para finalizar, aun falta un resultado clave que demuestra la solidez de los pasos anteriores: Ponzano y Regge descubrieron que cuando el número 6j que determina la amplitud de probabilidad es muy grande tiende a un valor muy concreto:
Pero el valor
Es precisamente ¡ la acción de Regge que discretiza la relatividad general !
Además esta última expresión del símbolo 6j puede escribirse como:
Donde eis es precisamente ¡ la integral de caminos gravitacional asociada a la relatividad general ! ¡ El vínculo entre los elementos cuánticos j y la geometría clásica de un tetraedro ha sido completamente establecido !
Conclusiones
Pero entonces, ¿Cuáles son los elementos cuánticos fundamentales que forman el espacio-tiempo? ¿Son los tetraedros formados por los momentos angulares cuánticos los "átomos" del espacio-tiempo? Aún no sabemos la respuesta a esta pregunta. Hay que tener en cuenta que los resultados expuestos en este artículo se basan en un espacio-tiempo 3D, en nuestro Universo real 4D los desarrollos teóricos son más complicados. Si atendemos únicamente a la Gravedad Cuántica de Bucles la respuesta corta sería que los tetraedros SI podrían ser fundamentales, pero existen otras alternativas como la Teoría de Cuerdas que presentan visiones alternativas. La búsqueda del "Santo Grial" de la física fundamental continua, ¿Puede existir una búsqueda más fascinante y trascendente que esta?
Notas:
(1) En nuestro mundo cotidiano donde la curvatura del espacio-tiempo es muy pequeña y las distancias son muy grandes la gravedad es tan pequeña que puede despreciarse en prácticamente todos los cálculos prácticos.
(2) En realidad, debido al principio de incertidumbre, la geometría del tetraedro es "borrosa" o "difusa" y no toma valores perfectamente definidos. En Gravedad Cuántica de Bucles se utilizan los denominados estados coherentes para conseguir en el límite clásico geometrías bien definidas.
Fuentes:
Covariant Loop Quantum Gravity, Carlo Rovelli and Francesca Vidotto
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