LA TEORÍA MÁS BELLA DE LA FÍSICA

El ser humano ha buscado la belleza, la perfección y la armonía a lo largo de toda su existencia: pinturas, esculturas, arquitectura, música, poesía... de alguna manera detectamos la belleza y tendemos a sentir algo especial cuando la encontramos. La belleza "artística" es capaz de conmovernos de forma muy intensa, sin embargo, esta belleza es subjetiva, intrascendente y efímera. Por otro lado, existe otro tipo de belleza que desgraciadamente, mucha gente no es capaz de apreciar. Este otro tipo de belleza es absoluta, trascendente y eterna y pertenece a la que probablemente es la disciplina más trascendente a la que puede dedicarse un ser humano: la Física fundamental y las Matemáticas. Para apreciar este tipo de belleza hay que remitirse a un concepto fundamental sobre el que descansa gran parte de la Física: el concepto de simetría.

En este artículo trataremos de explicar, sin utilizar fórmulas complejas y usando solamente conceptos sencillos la que es calificada por la mayoría de Físicos como la teoría más bella de la Física.

El poder de la Física fundamental

Imaginar que juntamos en una sala a cinco personas ilustres: el emperador alemán Otto von Bismarck, el militar Venezolano Simón Bolívar, la reina Victoria de Inglaterra, el emperador romano Julio César y el físico Albert Einstein (probablemente el pobre Einstein se sintiese un poco intimidado por el liderazgo y el carisma de sus acompañantes). Entonces, uno a uno comienzan a exponer orgullosos las consecuencias de sus logros: Bismarck exclama: "Mi fama es tan grande que numerosas ciudades alemanas se llaman como yo". Bolívar exclama "Pues la mía es tan impresionante que un país entero lleva mi nombre". A continuación Victoria exclama "pues la mía tiene un reconocimiento tal que todo un periodo de la historia lleva mi nombre". Entonces Julio Cesar exclama orgulloso: "Pues la mía es tan inmensa que durante 2000 años todos los títulos imperiales llevaban mi nombre". Por último, Einstein con modestia exclama: "Yo solamente seguí las pistas que me daba la naturaleza, pistas basadas en la belleza de la simetría... mi mayor logro es solo que las leyes fundamentales de la naturaleza que explican la dinámica del espacio y el tiempo de todo el Universo llevan mi nombre". Podéis imaginar la cara de incredulidad de los asistentes... todos los logros de esos grandes y carismáticos personajes no podían siquiera compararse con los del tímido científico...

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Arriba de izquierda a derecha: Otto von Bismarck, Simón Bolívar y la reina Victoria

Abajo de izquierda a derecha: Julio César y Albert Einstein

Cuando Einstein expuso su teoría en 1916 nuestra concepción del Universo que habitamos cambió para siempre. Posteriormente, durante el eclipse de Sol de 1919 el astrónomo Arthur Eddington comprobó que la luz procedente de una estrella lejana se curvaba debido a la masa del Sol y la magnitud de ese desplazamiento coincidía con lo que predecía la Relatividad de Einstein. Una sola persona, con un papel y un lápiz acababa de descubrir uno de los secretos más profundos del Universo. Como veremos, la belleza de la teoría, aparte de sus extraordinarias consecuencias, era que descansaba sobre un profundo concepto de simetría.

Geometría, sistemas de referencia y simetría

Visualicemos un momento un objeto cayendo en un campo gravitatorio como por ejemplo la famosa manzana de Newton. Hay dos formas de tratar de explicar esta atracción: una sencilla y "evidente" y otra "disparatada y exótica". La primera es que existe una fuerza omnipresente e invisible que interacciona con todos los tipos de materia que existen y que tira de ellos hacia el centro de grandes concentraciones de masa como la Tierra. La segunda es que no existe ninguna fuerza y que los cuerpos siempre siguen una trayectoria recta lo que sucede es que en presencia de grandes masas el espacio entre los objetos se acorta. La primera explicación parece evidente porque nosotros estamos acostumbrados a un mundo que se describe sobre una geometría plana, por esto siempre decimos que el camino más corto entre dos puntos es una línea recta. Si dos objetos están separados 5 metros de distancia y los juntamos hasta solo 2 metros significa que los hemos acercado 3 metros y que el espacio que ocupaba anteriormente sigue estando ahí de forma inamovible. ¿Cómo podría ser de otra forma? Sin embargo, ¿es realmente el espacio un escenario rígido y estático?

Cojamos una hoja de papel y dibujemos una línea recta entre dos puntos:

No hay ninguna duda de que la recta es el camino más corto entre los dos puntos. Un observador que solo pueda hacer medidas locales como por ejemplo una hormiga que camina sobre la línea coincidirá que camina sobre una recta. En esta geometría un observador local en reposo que observa un rayo de luz observará una trayectoria recta. Pero, ¿Qué sucedería si este observador se encuentra en una nave que está acelerando de forma constante? Entonces la trayectoria del rayo de luz sería ¡una línea curva!

Izquierda: la trayectoria de un rayo de luz en el cohete en reposo es una línea recta.

Derecha: cuando el cohete acelera la trayectoria de la luz, observada desde la nave

parece curvarse en sentido contrario a la dirección de movimiento

A continuación doblemos la hoja de papel formando un cilindro:

De nuevo un observador local como la hormiga seguirá creyendo que viaja en una línea recta. Sin embargo, si la hormiga pudiese hacer medidas no locales o si pudiera mirar la geometría "desde fuera" entonces podría observar claramente la curvatura del cilindro. Por tanto, un observador no local o uno que observe el rayo de luz "desde fuera" observaría que el rayo de luz viaja en una trayectoria curva (1). Para este observador no local los movimientos de los objetos siguen una trayectoria en forma de hélice como si una fuerza los atrajese "hacia dentro", por supuesto esa "fuerza" es debida a la curvatura del cilindro.

Es ahora cuando llegamos al punto clave: Einstein sabía que la masa inercial de un cuerpo es igual a la masa gravitatoria por lo que postuló una equivalencia entre aceleración y gravedad: un observador en caída libre en un campo gravitatorio y un observador dentro de una nave que acelera de forma constante deben medir, localmente, los mismos fenómenos físicos. Este es el famoso principio de equivalencia.

La idea clave de Einstein era que las magnitudes físicas fundamentales de los fenómenos naturales no podían depender de si el sistema de referencia es inercial o acelerado. Esta es la simetría fundamental de la cual emerge la belleza de la relatividad general: la simetría que exige que las leyes fundamentales de la física no cambien cuando cambiamos el sistema de referencia. De esta forma todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento, deben observar las mismas leyes fundamentales. Esta simetría se denomina covarianza general y es la simetría fundamental de la relatividad general.

La relatividad especial ya nos enseñó que para que las leyes de la física entre dos observadores inerciales no cambie y ambos coincidan en que la velocidad de la luz es c

el espacio debe contraerse y el tiempo debe dilatarse. Incluir en este esquema sistemas acelerados implica algo más increíble todavía: el espacio y el tiempo no pueden ser estáticos sino que tienen que curvarse en presencia de masa-energía. Este hecho, demostrado empíricamente por miles de experimentos es algo tan radical y tan ajeno a nuestro mundo cotidiano que todavía hoy más de un siglo después de su descubrimiento aún estamos digiriendo sus tremendas consecuencias.

Las extraordinarias consecuencias de la teoría

A continuación veremos, a modo de ejemplo, dos consecuencias increíbles de la teoría más bella de la física:

1º) La órbita de la Tierra alrededor del Sol

La imagen tradicional que prácticamente todo el mundo tiene de la órbitra terrestre alrededor del Sol es falsa (mejor dicho, es solo aproximada), la realidad es muy diferente: la Tierra se mueve en "línea recta" (siguiendo una geodésica) pero en un espacio-tiempo curvo de 4 dimensiones. ¿Quién dijo que la realidad no puede superar la ficción?

Para visualizar esto de forma intuitiva podemos recuperar el ejemplo del cilindro anterior. El eje del cilindro representa el tiempo y la superficie representa el espacio. Podemos considerar que el Sol se encuentra situado en el centro del cilindro y que su enorme masa produce la curvatura del espacio-tiempo representada por la superficie del cilindro. La "recta" (geodésica) dibujada sobre el cilindro sería la trayectoria de la Tierra que avanza en el tiempo girando en forma de hélice alrededor del Sol. Si realizamos una sección transversal en un instante concreto de esta trayectoria obtendremos la elipse que observamos en la realidad. ¡ Estamos observando las secciones tridimensionales de un Universo cuatridimensional !

Representación esquemática de la orbita terrestre. Esta representación es únicamente una analogía bidimensional y no constituye una representación matemática del espacio-tiempo real alrededor del Sol

2º) La atracción gravitatoria terrestre

La explicación de porqué usted no sale despedido al espacio en este mismo instante no es porque una fuerza extraña le mantenga pegado al suelo sino porque la Tierra y usted (suponiendo que estuviese en caída libre) siguen trayectorias rectas (geodésicas) en un espacio-tiempo de 4 dimensiones y esas líneas "rectas" se juntan en el tiempo. Trata de explicar esto a tu cuñado😀

En relatividad general los cuerpos siguen las trayectorias más cortas (2) en el espacio-tiempo (no solo hay que considerar la geometría espacial sino también la temporal). Estas trayectorias se llaman geodésicas y vienen dadas por la ecuación:

Si consideramos dos trayectorias geodésicas de dos cuerpos próximos como la Tierra y nosotros entonces encontramos que estas geodésicas se van acercando una a la otra según pasa el tiempo.

Los cuerpos siguen trayectorias geodésicas en un espacio-tiempo curvo de 4 dimensiones. Si consideramos dos cuerpos en reposo como usted y la Tierra estas trayectorias se acercan la una a la otra en el tiempo

¡ Esta es la verdadera "fuerza" de atracción entre nosotros y el planeta Tierra !

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Matemáticas, física y realidad

Pero, ¿Cómo es esto posible?, ¿Cómo se puede comprobar que todo esto es real?

Para darnos cuenta de que esta teoría aparentemente tan exótica describe nuestro Universo real debemos analizar algún efecto medible experimentalmente que no pueda ser explicado mediante la fuerza a distancia de la ley de Newton. El ejemplo más claro y sencillo es la órbita anómala de Mercurio.

Debido al tirón gravitatorio del resto de planetas cuando estos se acercan, las leyes de Newton predicen que las orbitas de los planetas se desplazan ligeramente dentro del plano de la órbita (movimiento de precesión):

Movimiento de precesión de la órbita elíptica donde el Sol está en uno de los focos de la elipse

Desde finales del siglo XIX y principios del siglo XX ciertas mediciones astronómicas habían estado centradas en medir el valor de la precesión de la órbita del planeta más cercano al sol: Mercurio. Las observaciones midieron que la órbita de Mercurio se desplazaba 5600 arco-segundos por siglo. Las ecuaciones de Newton, teniendo en cuenta todas las interacciones de los demás planetas, la deformación ligera del Sol debido a su propia rotación y teniendo en cuenta la propia rotación y traslación de la Tierra alrededor del Sol predicen una precesión de 5557 arcosegundos por siglo, es decir, existe una discrepancia de 43 arcosegundos por siglo respecto a las mediciones. Esta discrepancia, aunque pequeña empezó a constituir un problema serio para los astrofísicos ya que a lo largo de los años de observación la diferencia se acumulaba y aumentaba notablemente. Varias teorías fueron propuestas para explicar la discrepancia pero ninguna funcionaba de forma satisfactoria.

El 18 de Noviembre de 1915 un año antes de publicar la relatividad general, Einstein estaba trabajando en Berlín. Aunque su teoría aún no estaba finalizada Einstein tenía una solución aproximada a sus ecuaciones. Esta solución implicaba que cerca de una gran masa esférica el espacio y el tiempo se curvaban siguiendo la siguiente métrica:

(ds)² = (1 - 2M/r) (dt)² - (1 + 2M/r) (dr)² - r² (dØ)² - r² sen² (Ø) (df)²

Esta métrica implica que la curvatura en la órbita viene dada por:

Teniendo en cuenta que G = 6.674215·10-11 m3/kg-seg² , la masa del Sol M es igual a 1.99·1030 Kilogramos encontramos que GM/c² = (6.674215·10-11) (1.99·1030) /(3·108)² = 1.476 Kilómetros. Esta es una distancia muy pequeña si la comparamos con la distancia del perihelio de Mercurio de 46 millones de kilómetros al centro del Sol. Por lo tanto, el desplazamiento angular del perihelio por revolución es una cantidad muy pequeña. Utilizando directamente la fórmula de arriba, obtenemos dØ = 4.99·10-7 radianes por órbita, lo cual utilizando la conversión: 2pi radianes = 360 grados = 21,600 minutos = 1.296·106 segundos 1 segundo de arco = 1" arco = 4.848·10-6 radianes encontramos que equivale a (4.99·10-7)/(4.848·10-6) = 0.103 segundos de arco por revolución. Puesto que Mercurio le da la vuelta al Sol cada 87.969 días tenemos: (87.969 días) /(365 días/año) = 0.241 año/revolución. Entonces, el desplazamiento angular dØ de la órbita a causa de la precesión es igual a: dØ = (0.103"/revolución)/(0.241 año/revolución). Por tanto, obtenemos que dØ = 0.43"/año = 43"/siglo.

¡ Los cálculos de Einstein explicaban de forma exacta la discrepancia medida experimentalmente por los astrónomos !

Esta pequeña curvatura se debe a la masa del Sol y solo es apreciable en Mercurio porque es el planeta con la órbita más cercana al Sol. La relatividad general explica de forma natural esta curvatura.

La luz de una estrella es curvada cerca del Sol, este mismo efecto produce una perturbación en la órbita de Mercurio: cuando este pasa cerca del Sol la curvatura del espacio-tiempo produce una precesión en la órbita.

Imaginar la emoción de Einstein cuando obtuvo este resultado, en ese momento Einstein supo que su teoría era correcta y que iba a producir una de las revoluciones científicas más grandes de la historia de la humanidad modificando totalmente nuestras concepciones del espacio, el tiempo y la gravedad. El espacio y el tiempo ya no son entidades separadas sino que forman parte de un todo 4-dimensional y la gravedad ya no es una fuerza en el sentido convencional sino que es el resultado de una deformación del espacio-tiempo: no existe "algo" que tira de "algo" sino que es el propio espacio-tiempo el que se "acorta" entre los objetos bajo la acción de la masa-energía.

Notas:

(1) La geometría intrínseca del cilindro es cero por lo que la superficie del cilindro puede extenderse completamente en un plano. Por otro lado, esto sería imposible con la superficie de una esfera. El ejemplo del cilindro se ha escogido por ser más intuitivo, en realidad, la relatividad general utiliza geometrías curvas de 4 dimensiones.

(2) En realidad es más correcto decir que los cuerpos siguen las trayectorias que extremizan el tiempo propio.

Fuentes:

La Teoría de la Relatividad