PARADOJAS CUÁNTICAS Y REALIDAD COMPLEJA (II)

En esta segunda parte trataremos de dar una explicación a las "paradojas" cuánticas que vimos en la primera parte. Antes de comenzar hay que señalar que los experimentos del artículo anterior no representan realmente ninguna paradoja ya que son completamente explicables con la formulación estándar de la mecánica cuántica, sin embargo, en esta segunda parte ofreceremos un enfoque diferente basándonos en el formalismo de la mecánica cuántica de las integrales de camino de Feynman.

La mecánica cuántica como integrales de camino

La evolución de un sistema cuántico como por ejemplo una partícula fundamental viene dada por la ecuación de Schrödinger:

La solución a esta ecuación consiste en un sistema de dos ondas planas complejas:

Estas ondas pueden expresarse de forma equivalente como:

Sabemos que la acción S de un sistema viene dada por el Lagrangiano que en este caso es precisamente la diferencia px-Et:

Por tanto nuestra onda plana puede expresarse como:

Este es el objeto principal de nuestro artículo. Es fácil ver que S no solo es la acción asociada a la partícula sino que también es su fase compleja.

Consideremos ahora el famoso experimento de la doble rendija:

La probabilidad de que la pantalla registre el electrón cuando solo la rendija 1 está abierta es P1 mientras que la probabilidad cuando solo la rendija 2 está abierta es P2. Clásicamente esperaríamos encontrar que la probabilidad total P sea la suma de ambas probabilidades P=P1+P2 pero lo que realmente encontramos es:

Donde Psi 1 y Psi 2 son dos funciones complejas, es decir, funciones con una amplitud y una fase. La probabilidad final es el módulo de la suma de dichas funciones complejas. Es decir, la probabilidad total es:

Donde el último término es el término de interferencia que produce las famosas franjas de interferencia cuántica. Este término puede expresarse como:

Estas dos últimas expresiones nos dan la clave de la "extrañeza" del mundo cuántico: para calcular la probabilidad de que el electrón alcance un punto de la pantalla debemos sumar las amplitudes asociadas a cada trayecto y tener en cuenta el término de interferencia entre ambos trayectos. Este último término se calcula restando las fases asociadas a cada trayecto por tanto, las fases que apuntan en la misma dirección se refuerzan mientras que las fases opuestas se cancelan. Todo esto significa que en nuestro experimento lo que realmente determina las magnitudes que podemos medir es un patrón de interferencia complejo entre funciones complejas asociadas a cada trayecto. Esto apunta a una realidad formada por funciones complejas.

S es el valor de la acción asociada al trayecto. Por tanto, en el experimento de la doble rendija, para calcular la probabilidad correcta debemos evaluar dos trayectos diferentes con acciones S1 y S2:

A continuación nos preguntamos ¿Qué sucede si abrimos más rendijas? Si abrimos n rendijas las probabilidades serán:

Es decir la probabilidad total se calcula considerando todos los caminos posibles (rendijas) entre la fuente y la pantalla. Esta es la visión de la mecánica cuántica que Feynman descubrió: la probabilidad de que una partícula se propague del punto A al punto B en un cierto intervalo de tiempo es igual a la suma de las amplitudes asociadas a todos los posibles caminos entre A y B. Por tanto, la función de onda anterior puede considerarse como una superposición de trayectos.

Es ahora cuando llegamos al punto clave: si consideramos distancias macroscópicas donde la acción es mucho mayor que h entonces la fase tiene un valor enorme y por tanto oscila muy rápido. Por tanto, la diferencia de fase entre caminos muy cercanos es muy grande (prácticamente tienen ángulos aleatorios) de forma que se cancelan de forma casi exacta. De esta forma, solo la trayectoria clásica sobrevive: la trayectoria donde la variación de la acción es nula (cumpliendo así con el principio universal de mínima acción). Este es el punto clave del artículo: el mundo clásico solo surge por cancelación de las probabilidades cuánticas, es decir, nuestro Universo clásico es solo un caso especial de la verdadera realidad: un mundo cuántico basado en patrones de interferencia complejos. 

Entender este punto y sus consecuencias es la clave para explicar las aparentes paradojas que vimos anteriormente y explicar además muchos de los fenómenos más contraintuitivos de la física fundamental. El espacio-tiempo es cuántico a nivel fundamental, el trayecto entre el emisor y el receptor no está fijado de antemano, este solo surge como resultado de un patrón de interferencias con amplitudes y fases complejas. Ahora ya estamos en disposición de abordar las paradojas que describimos en el primer apartado.

La bomba en el interferómetro de luz

Como hemos visto para calcular la probabilidad de que el fotón llegue al detector final debemos sumar las amplitudes complejas asociadas a los dos trayectos:

La clave está en el último término que es el término de interferencia.

Si no hay detector (bomba) ambos trayectos son idénticos e indistinguibles. El término de interferencia implica que en D1 tenemos interferencia destructiva y por tanto P=0 mientras que en D2 tenemos interferencia constructiva y por tanto P=1. Como resultado observamos el patrón de interferencia en D2.

El hecho de colocar el detector en el experimento produce uno de los fenómenos más extraños y contraintuitivos del mundo cuántico: la decoherencia. En la práctica el detector está compuesto por millones de átomos lo que se traduce en un sistema con un enorme número de grados de libertad. Al colocar el detector este interactúa con el entorno y por tanto queda entrelazado con el experimento. Tenemos ahora dos funciones de onda en el experimento: la función de onda del fotón con solo dos estados y la función de onda del detector con un número inmenso de estados. Para que haya entrelazamiento entre las dos debe existir un "solapamiento" entre los estados de ambas funciones de onda (más concretamente un solapamiento en el estado de fases). Cuando no había detector este solapamiento existía porque solo teníamos la función de onda del fotón pero ahora este solapamiento es estadísticamente muy improbable debido al enorme número de grados de libertad.

El resultado de esto es que la interferencia desaparece.

En la nomenclatura de las integrales de camino que estamos usando tenemos que una vez colocado el detector la amplitud total es:

Ahora ambos caminos son distinguibles: si pasa por el camino 1 la bomba explota y si pasa por el camino 2 la bomba queda intacta. Pero estos dos estados son estados ortogonales (corresponden a estados de certeza o probabilidad 100%) de la misma forma que en un qbit representado por una esfera de Bloch los estados 0 y 1 se encuentran en los extremos opuestos de la esfera:

Esto quiere decir que su producto interno (producto vectorial) es cero:

Por tanto, el término de interferencia desaparece:

Esto quiere decir que tenemos dos caminos independientes que no interfieren y por tanto la bomba explotará en el 50% de las ocasiones. Por tanto, si es posible saber si el camino 2 está obstruido: esto será cierto cuando el detector D1 se active. Esto no es ninguna paradoja sino que es la consecuencia de uno de los procesos más fundamentales de la mecánica cuántica: la decoherencia inducida por el entorno.

La luz de un quásar lejano

La probabilidad de que un fotón emitido por el quásar sea detectado en la Tierra se calcula teniendo en cuenta todos los posibles trayectos entre ellos. Como la distancia es inmensa la fase de la función de onda es muchísimo mayor que h y por tanto la amplitud asociada a todos los trayectos se cancela excepto los trayectos de mínima acción asociados a los trayectos que rodean la galaxia S1 Y S2. Este fenómeno es completamente análogo al divisor de haz que vimos anteriormente: si no se coloca ningún detector en uno de los trayectos se detectará el patrón de interferencia en la Tierra, si se coloca el detector no se medirá interferencia en la Tierra, esto no es ninguna paradoja y por supuesto no existe ninguna violación de la causalidad.

En la práctica, la luz y las partículas emitidas por la galaxia producen la decoherencia de la función de onda del fotón y rompen el patrón de interferencia, de hecho, en la famosa imagen de la cruz de Einstein los cuatro puntos luminosos que se observan corresponden a la misma imagen del quásar lejano y no se observa ningún patrón de interferencia.

El experimento de la doble rendija

Este experimento también es análogo al caso del interferómetro. Si no colocamos el detector en ninguna de las rendijas la amplitud total será la suma de las amplitudes asociadas a cada rendija:

Por tanto, observaremos el patrón de interferencia en la pantalla.

Si colocamos un detector en una de las rendijas sus estados quedan correlacionados con el entorno y la amplitud total será:

Pero como en el caso del interferómetro los estados D1 y D2 son ortogonales y por tanto, la interferencia entre ambos es cero.

Pero entonces, ¿Qué sucede si colocamos el detector después de que el fotón haya atravesado las rendijas? Las integrales de camino de Feynman se evalúan fijando una posición y un tiempo inicial y una posición y un tiempo final por lo que el patrón de interferencia que prevalece es el que exista en el instante final, es decir, cuando el electrón es detectado. Por tanto, si colocamos el detector después de que el fotón atraviese las rendijas y este permanece activo en el experimento en el momento de la medición no detectaremos el patrón de interferencia en la pantalla.

El experimento del espejo de Feynman

Es en este experimento donde veremos el poder de las integrales de camino en todo su esplendor. Dividiremos el experimento en cinco fases:

 1º) En primer lugar partimos de que el sistema es cuántico por naturaleza y lo que tenemos inicialmente es un patrón de interferencia de amplitudes y fases complejas. Por tanto, no tenemos ningún trayecto clásico preseleccionado, no hay trayectorias solo hay un patrón de interferencia complejo:

Este patrón de interferencia puede considerarse como una superposición de posibles trayectorias.

2º) Las amplitudes y las fases de distintas zonas interfieren de forma que las amplitudes donde las fases varían muy rápidamente se cancelan. La única zona del patrón de interferencia donde la fase no varía es la zona central del espejo correspondiente a la mínima acción (trayecto más corto) donde se cumple que dS/dx=0.

3º) En esta zona central las fases apuntan en la misma dirección y sus amplitudes se refuerzan, entonces surge un trayecto clásico por el que la luz puede propagarse.

 ¡La luz comienza a reflejarse en el espejo!

4º) Al cortar las 3/4 partes del espejo el patrón de interferencia complejo se ha modificado: la única zona donde existía una trayectoria clásica ha sido eliminada y por tanto la luz ya no se refleja en el espejo.

5º) Al rayar solamente unas zonas muy concretas el patrón de interferencia compleja vuelve a cambiar: ahora ciertas fases que giraban de forma aleatoria y se cancelaban desaparecen. Esto hace que la cancelación no sea perfecta y ciertas fases están ahora orientadas y reforzadas. Vuelve a surgir un trayecto clásico y ¡El espejo vuelve a reflejar la luz!

Todo esto apunta a la existencia de un mundo gobernado por amplitudes y fases complejas. A escala cosmológica este mundo encajaría de forma natural en lo que se denomina la función de onda del Universo. Esta visión será objeto de un nuevo artículo en el que este Universo complejo podrá ser visualizado en todo su esplendor.

Fuentes:

Electrodinámica Cuántica, Richard Feynman