Este artículo es una contribución a la edición 2.9 del carnaval de matemáticas que en esta ocasión se aloja en la web Que no te aburran las mates.
"El gran libro de la naturaleza puede ser leído solamente por aquellos que conocen el lenguaje en el que está escrito. Y ese lenguaje es el de la matemática" Galileo Galilei
¿Que son las matemáticas? ¿Por que una herramienta "inventada" por los hombres describe tan detalladamente casi todos los fenómenos que existen en nuestro universo? Si preguntamos a un grupo de personas escogidas de forma aleatoria ¿Qué son las matemáticas? seguramente encontremos respuestas del tipo "Las matemáticas son las reglas de como hacer cálculos" o "Las matemáticas son la ciencia de los números" o incluso respuestas del tipo "Las matemáticas son lo que hacen los matemáticos para ganarse la vida".
Para intentar acercarnos a una respuesta más completa y acertada vamos a tratar de describir primero cuales son los campos de estudio de las matemáticas.
Actualmente existen muchísimas ramas distintas de la matemática, la Sociedad Americana de Matemáticas es capaz de distinguir hasta 5000 ramas distintas. Sin embargo, todas estas ramas se pueden clasificar de forma general y suficiente para nuestro propósito en 7 grandes grupos:
1º) La aritmética y la teoría de números: Estas ramas estudian las estructuras de los números y del proceso de contar.
2º) La geometría: Esta rama estudia las estructuras de las formas.
3º) El cálculo: Esta rama nos permite tratar las estructuras del movimiento.
4º) La lógica: Esta rama estudia las estructuras del razonamiento.
5º) La estadística y la teoría de la probabilidad: Estas ramas tratan de las estructuras del azar.
6º) La teoría de grupos: Esta rama estudia las estructuras de la simetría.
7º) La topología: Esta rama estudia las estructuras de la proximidad y de la posición.
En esta clasificación hay una palabra que se repite continuamente y es la palabra "estructura". Esta palabra nos permite dar una respuesta a nuestra pregunta con la que la mayoría de los matemáticos estaría de acuerdo en la actualidad: Las matemáticas son la ciencia de las estructuras. Por "estructuras" se entiende un conjunto de relaciones abstractas que comprenden y permiten el estudio de los números, de las formas, del movimiento, del razonamiento lógico, del azar, de la posición, de la simetría o de la proximidad. Estas estructuras pueden ser reales o imaginarias, visuales o mentales, estáticas o dinámicas, cualitativas o cuantitativas, útiles o solo con un interés recreativo. Pueden tener su origen en el mundo que nos rodea, en las profundidades del espacio y del tiempo o provenir exclusivamente de la actividad de la mente humana.
Debido a que el ámbito de aplicación de las matemáticas es tan amplio no nos debemos extrañar de que las matemáticas estén en todos los sitios: votaciones electorales, aerodinámica de los aviones, telecomunicaciones, la música, el lenguaje, la medicina, la física de partículas, la astronomía, la neurología, la biología, en la construcción de una casa o una carretera o en el proceso de lectura-etiquetado de un supermercado. Sin las matemáticas no existiría prácticamente ninguna de las tecnologías actuales y nuestra comprensión del mundo no hubiese pasado de la que se tenía hace unos 500 años.
Esta claro que las matemáticas nos permiten describir y explicar el universo en el que vivimos, esto nos lleva a nuestra segunda gran pregunta: ¿Por qué el universo "funciona" según las reglas de la matemática? ¿Son las matemáticas una mera invención humana o realmente "existen" en el universo con independencia de la mente humana? Para intentar dar una respuesta a estas preguntas primero hay que tener en cuenta algunas características fundamentales de las matemáticas:
1º) Para utilizar y plasmar de forma tangible y útil las distintas relaciones entre estructuras abstractas las matemáticas necesitan el uso de un lenguaje simbólico. Este lenguaje simbólico comprende desde el uso de símbolos para denotar a los números y sus operaciones básicas como símbolos para denotar operaciones más complejas como integrales o matrices. Es evidente que estos símbolos son una invención humana, sin embargo, las estructuras y las relaciones entre estructuras que representan estos símbolos no son una invención humana, estas estructuras "existen", están ahí independientemente de si hay o no matemáticos para estudiarlas.
2º) Las matemáticas son la única ciencia no empírica, es decir, no dependen de demostraciones experimentales. Esto tiene una importante consecuencia: si las premisas y los razonamientos lógicos en los que se basa la demostración de un teorema matemático son ciertos, el teorema matemático representa desde este punto de vista una verdad absoluta y totalmente objetiva, es decir, no dependen de subjetividades, prejuicios, preferencias o errores derivados de la actividad humana. Por ejemplo la suma y la multiplicación de 2 números cumplen las propiedades conmutativa y asociativa y entre un número cualquiera y su doble siempre hay un número primo, esto es así, ha sido siempre así y siempre será así, independientemente de cualquier persona, cosa o entidad presente pasada o futura. Difícilmente una característica tan excepcional puede derivarse de una mera invención humana..
3º) Puede haber distintos desarrollos matemáticos que representen a la misma estructura y al revés puede haber distintas estructuras representadas por el mismo desarrollo matemático. Un ejemplo de la primera clase sería por ejemplo la mecánica clásica que se puede formular mediante dos desarrollos matemáticos totalmente distintos pero equivalentes: la mecánica newtoniana y la lagrangiana. Un ejemplo de la segunda clase podría ser el formalismo de la teoría de cuerdas, formulado en principio para cuantizar la gravedad pero que también parece describir el comportamiento de la materia a altísimas temperaturas.
4º) Una parte de la matemática no parece tener conexión alguna con el mundo físico real. De alguna forma es como si las matemáticas captaran todas las estructuras posibles de las que la naturaleza "eligió" solo algunas de ellas. Esta parte de la matemática se suele llamar "matemáticas puras" en contraposición de las llamadas "matemáticas aplicadas" si bien es cierto que parte de aquellas, con el tiempo, acaban encontrando alguna aplicación práctica y por tanto alguna conexión con el mundo real.
5º) Los modelos matemáticos de sistemas complejos se consideran a menudo como una aproximación a la realidad. Muchas veces esa aproximación es debida a la omisión de alguna de las numerosas variables que intervienen en el complejo proceso. También es posible que fenómenos emergentes no tenidos en cuenta intervengan también.
Conclusiones:
Todas estas características de las matemáticas parecen indicar que si bien éstas son "creadas" por la mente del hombre y ciertas características de las mismas (como la notación simbólica) son sin duda una invención humana, las estructuras a las que representan, relacionan y cuantifican existen sin ninguna duda en el mundo que nos rodea. Las matemáticas existen en base a las estructuras que representan, es una existencia no física sino como una representación de la relación entre entidades que si existen: las estructuras. El físico Eugene Wigner formuló una pregunta que ha pasado a la historia de una forma resumida como "la inexplicable eficacia de las matemáticas". En cierta ocasión leí una posible "explicación" a esta afirmación que más o menos viene a decir lo siguiente: las matemáticas captan, cuantifican y relacionan las distintas estructuras que forman el mundo ordenado en el que vivimos. Un mundo complejo como el nuestro ha de ser ordenado, ha de tener unos patrones ya que este tipo de mundo es mucho más probable que prospere (evolucione en el tiempo) que uno sin orden ni regularidad alguna.
Fuentes: El lenguaje de las matemáticas. Keith Devlin.