Las Matemáticas nos permiten ir mucho más allá de lo que nuestros sentidos (creados para detectar fenómenos cotidianos) nos permiten estudiar. De hecho, para estudiar las propiedades más fundamentales del mundo que habitamos no podemos usar simplemente herramientas basadas en nuestra experiencia sensorial, debemos usar el lenguaje en el que están escritas las leyes fundamentales: el lenguaje de las Matemáticas. En ocasiones las Matemáticas nos revelan la existencia de objetos cuyas propiedades chocan de forma frontal con nuestro sentido común. En este artículo estudiaremos uno de estos objetos: uno que posee un volumen finito pero contiene una superficie infinita.
La trompeta de Torricelli
El concepto de infinito ha fascinado a Matemáticos, Físicos y Filósofos desde que fue descubierto por los antiguos griegos. Los Matemáticos utilizan el concepto de infinito para obtener el valor de magnitudes físicas reales como si de alguna forma este concepto existiese en la naturaleza. Los Físicos sostienen que el concepto de infinito es solo una idealización matemática y que ninguna cantidad infinita tiene sentido en el mundo real. Por otro lado, los antiguos filósofos creían que el infinito estaba relacionado con un poder divino y que solo los dioses podían alcanzarlo y cuantificarlo. Desde este último punto de vista podríamos afirmar que las Matemáticas tienen un poder "sobrenatural" ya que son capaces de "domar" y cuantíficar cantidades infinitas.
El objeto denominado "trompeta de Torricelli" también conocido como "cuerno de Gabriel" se construye de forma muy sencilla: primero dibujamos la funcion y=1/x:
A continuación tomamos solamente los valores de x mayores o iguales que 1 y rotamos la función resultante entorno al eje x:
Calcular el volumen de este objeto es muy sencillo: el área bajo la curva es la integral de la función f(x) y el volumen se obtiene rotando esa superficie en torno al eje X :
Por tanto, a medida que avanzamos en el eje X el valor del volumen se acerca más y más a PI y en el limite de x tendiendo a infinito tenemos un volumen finito: PI
Para calcular el área simplemente giramos la curva en torno al eje X. Aplicando la fórmula para el área de revolución tenemos:
Considerando que f(x)=1/x y derivando f(x) tenemos:
Esta integral es difícil de calcular pero si tenemos en cuenta que la cantidad dentro de la raiz cuadrada siempre va a ser mayor que uno (ya que x>1) tenemos que:
Para b tendiendo a infinito este área es infinito.
La conclusión de estos cálculos es un golpe tremendo a nuestro sentido común:
¡este objeto tiene un volumen finito encerrado en una superficie infinita!
Esto tendría como consecuencia algo que a todas luces parece absurdo: podríamos utilizar una cantidad de pintura finita para rellenar el interior de la trompeta pero necesitariamos ¡una cantidad de pintura infinita para pintar su superficie! Podemos imaginar la cara de perplejidad de los primeros matemáticos que descubrieron esto. ¿Que demonios está pasando aqui? ¿Podemos tratar de explicar esto de forma intuitiva?
Convergencia y divergencia de sumas
La primera pista para entender estos resultados aparentemente sin sentido es darse cuenta de que el área del objeto es una suma infinita (cuyo espesor tiende a cero) de discos de radio 1/x mientras que el volumen es una suma infinita de discos de área 1/x2.
El punto clave es que mientras que la segunda serie es convergente: suma de los inversos de los cuadrados la primera serie es divergente: serie armónica divergente
Sin embargo podemos preguntarnos ¿Existe una forma más intuitiva de explicar esto? ¿Como podemos encontrar una respuesta a la paradoja de un volumen finito dentro de una superficie infinita?
La resolución de la paradoja
Para tratar de resolver esta paradoja realizamos el siguiente experimento: tomamos la trompeta y la situamos verticalmente a modo de copa. Como el volumen del objeto es PI tomamos un bote de pintura de PI litros y lo volcamos dentro del interior de la copa:
¿Conseguiremos llenar todo el volumen de la copa? ¿Hemos conseguido pintar el interior de la superficie de la copa? Si la superficie es infinita, ¿no necesitaríamos una cantidad infinita de pintura? Esto parece una contradicción prácticamente imposible de resolver. Para tratar de entender que está sucediendo primero analizaremos la superficie de la copa.
La Superficie infinita de la "Trompeta de Torricelli"
Como puede verse en el video de la suma de los inversos de los numeros naturales que vimos en el apartado anterior a medida que avanzamos en el eje X esta suma aumenta sin límite. Por tanto, para poder pintar el fondo infinitamente decreciente necesitamos que el espesor de la pintura vaya decreciendo al mismo ritmo que decrece el radio es decir a un ritmo 1/x. Para x tendiendo a infinito necesitamos que la pintura tenga un espesor infinitamente pequeño. Esto quiere decir que para poder pintar la superficie necesitamos coger nuestro bote de PI litros de volumen y empezar a sacar de el láminas de pintura de espesor más y más pequeño de forma que este tienda a cero. Este proceso es infinito por lo que seguiremos sacando láminas eternamente. Esto significa que aunque nuestro material tenga un volumen finito necesitamos que esté compuesto por un número de láminas infinito, es decir, por un área infinito. Esto sería como intentar pelar una cebolla cuya piel tiene un espesor que se va reduciendo de forma continua hacercándose a cero pero sin nunca alcanzarlo: aunque la cebolla tiene un volumen finito su superficie no acaba nunca, es infinita. Pelar esta cebolla costaría un tiempo infinito.
Por supuesto esto en el mundo físico real es imposible, ningún material es infinitamente indivisible. Esta es la solución a la aparente paradoja: para pintar la superficie de la trompeta no necesitamos una cantidad infinita de pintura sino un material infinitamente compresible y que se extienda a una velocidad infinita algo imposible físicamente. De hecho, si existiese un material así y este se comprimiese a un ritmo 1/x podríamos pintar toda la superficie interior de la trompeta.
En resumen: No es posible pintar toda la superficie de la trompeta ya que siempre habrá en el fondo un trozo al que el espesor finito de las moléculas de pintura (o de cualquier material físico) no puede acceder. Pero entonces, ¿Como es posible que esta superficie encierre un volumen finito?
Volumen finito de la "Trompeta de Torricelli"
A medida que avanzamos en el eje X el valor del eje Y se hace más y más pequeño, de hecho, el eje X aumenta en la misma proporción que disminuye el eje Y ya que y=1/x. Esto es, estamos comprimiendo una dimensión en la misma proporción que expandimos otra. Es ahora cuando descubrimos uno de los secretos "mágicos" del infinito. Consideremos un rectángulo de altura "a" y de ancho "1/a":
El área del rectángulo es obviamente la unidad. A continuación reducimos el ancho y aumentamos la altura en la misma cantidad "a". El área de la figura seguirá siendo la únidad. Si continuamos con el proceso reduciendo la dimensión X y aumentando la dimensión Y hasta el infinito entonces tendremos una "linea" de longitud infinita asociada a un "área" finita. ¡El aumento de una dimensión se compensa por la disminución de la otra dimensión! ¡De esta forma se consigue "domar el infinito"!
Esto es exactamente lo que sucede con nuestra trompeta de geometría hiperbólica. Si nos fijamos en el área interior (no confundir con el área exterior infinito) antes de girarlo en torno al eje X obtenemos lo siguiente:
El área de los rectángulos marcados en rojo es siempre la unidad aunque el valor de x tienda a infinito. Por tanto el área bajo la curva permanece finito y al girar dicho área en torno al eje X ¡obtenemos un volumen finito!
Geometrías no Euclideas y el final de la geometría de los objetos cotidianos
La geometría de todos los objetos comunes que vemos en nuestro día a día está basada en objetos que "residen" sobre superficies planas (geometría Euclidea). En esta geometría dos lineas paralelas nunca se tocan y la suma de los ángulos de cualquier triángulo suma 180º. Sin embargo esto no se cumple en geometrías curvas como la superficie de la Tierra o las geometrías hiperbólicas. Las geometrías hiperbólicas como la de la trompeta de Torricelli tienen curvatura negativa y poseen características altamente contraintuitivas: las lineas "rectas" paralelas no se mantienen a una distancia constante sino que se abren continuamente "hacia afuera" y los ángulos de un triángulo suman menos de 180º. Otra propiedad característica es que no es posible cubrir toda la superficie con una superficie plana usual (Euclidea) sino que necesitamos una superficie curva. Por ejemplo, si queremos cubrir totalmente y sin solapar la superficie de la trompeta con triángulos no podemos usar triángulos planos sino triángulos "curvos" cuyos ángulos suman menos de 180º.
¡Esta es la explicación geométrica del área infinita de la trompeta de Torricelli!
Las Matemáticas nos están indicando que no podemos incluir todo su área en una superficie bidimensional Euclidea.
Para concluir hay que señalar la fascinante relación entre el infinito, los espacios hiperbólicos o Anti-deSitter y la simetría conforme. Los espacios hiperbólicos poseen una simetría denominada simetría conforme en la que la geometría no varía si cambiamos la escala (esto es similar a lo que ocurre en los fractales). Como consecuencia a esta invarianza de escala las coordenadas y las distancias pierden su significado y el concepto de infinito adquiere un significado especial: puntos que antes estaban a infinita distancia pasan a estar a una distancia finita después de un cambio de escala. De hecho, como vimos en este artículo en un espacio-tiempo con curvatura negativa un rayo de luz puede recorrer una distancia infinita en un tiempo finito.
Sin duda el concepto de infinito es fascinante y solo el poder de la Física moderna y las Matemáticas pueden acceder a sus secretos más profundos.
Fuentes: