"El infinito del Universo es una gran bendición para los seres humanos, ¡porque el deseo de los seres humanos por descubrir también es infinito!". Mehmet Murat ildan.
El concepto de infinito ha fascinado al hombre desde que los primeros matemáticos griegos empezaron a desvelar sus secretos. Arquímedes fue capaz de calcular el valor de la superficie y el volumen de gran variedad de cuerpos curvos y se dio cuenta de que este valor estaba "escondido" en el infinito.
En este artículo descubriremos una extraña y fascinante relación entre la velocidad de la luz, el infinito y ciertos espacio-tiempos muy peculiares. Esta relación hace posible que un rayo de luz alcance el infinito y vuelva al punto de partida en un tiempo finito.
A continuación nos internaremos en un extraño lugar donde el infinito no es una entelequia matemática sino un lugar físico que puede alcanzarse a través de un rayo
de luz.
El extraño espacio-tiempo AdS
Las primeras soluciones cosmológicas a las ecuaciones de la relatividad general ofrecieron dos posibles Universos: uno con curvatura y constante cosmológica positiva y otro con curvatura y constante cosmológica negativa. En honor a su descubridor Willem de Sitter los primeros se llamaron espacio-tiempos de-Sitter (dS) y los segundos espacio-tiempos anti-deSitter (AdS). En este artículo analizaremos las increíbles propiedades de los segundos.
Visualizar espacios curvados puede ser muy complicado. Un espacio con curvatura positiva como una esfera se cierra sobre si mismo y por tanto tiene un volumen finito. Sin embargo, un espacio con curvatura negativa se abre continuamente "hacia afuera" y por tanto, este espacio no tiene bordes y tiene un volumen infinito:
Si a un espacio AdS de tres dimensiones le añadimos el tiempo entonces tenemos un espacio-tiempo AdS cuatridimensional cuya métrica puede escribirse como:
La constante "a" mide el radio de curvatura y "omega" representa la métrica de una 2-esfera de radio unidad. Un espacio-tiempo AdS representa un Universo con curvatura constante negativa, como la gravedad es en realidad curvatura del espacio-tiempo, cualquier observador dentro de una geometría AdS estará inmerso en un potencial gravitatorio.
Para analizar las características de esta geometría tenemos que analizar la trayectoria que realiza en este espacio-tiempo un cuerpo cuando es abandonado libremente, es decir, tenemos que visualizar las geodésicas. Para ello hacemos hacemos el siguiente cambio de coordenadas en la métrica anterior:
Entonces obtenemos la métrica:
Considerando un cuerpo en reposo que se mueve solamente en la coordenada radial obtenemos:
La geodésica viene dada por:
Para trayectos "timelike" es decir, para viajeros con velocidad menor que c tenemos:
Esta es la ecuación de un oscilador armónico simple con periodo T=a. Esto es realmente muy extraño: ¡Un cuerpo en una geometría AdS sigue trayectorias cíclicas en el espacio tiempo! Esto quiere decir que el tiempo es cíclico: una vez transcurrido un tiempo 2πa cualquier observador que parta de un punto P ¡volverá al mismo punto de partida!
Para darnos cuenta de lo extraño que es esto consideremos un astronauta dentro de un espacio-tiempo AdS. El astronauta arroja hacia arriba una pelota con una velocidad V1. La pelota ascenderá, se detendrá y caerá de nuevo hacia el astronauta en un tiempo 2πa. A continuación, el astronauta lanza la pelota con una catapulta que la impulsa con una velocidad V2 mayor que la anterior. El astronauta, atónito, observa que ¡La pelota regresará en el mismo tiempo que antes! La diferencia es que la pelota ha recorrido una distancia mayor que en el caso anterior.
Después de observar esto, el perplejo astronauta utiliza un cañon muy potente para propulsar la pelota. La pelota adquiere una velocidad inicial V3 mucho mayor que las anteriores, sin embargo, transcurrido el mismo tiempo 2πa la pelota ¡ vuelve al punto de partida! ¡Este extraño Universo está determinado por ciclos de tiempo constante!
A medida que la velocidad inicial de la pelota aumenta la distancia recorrida es mayor y por tanto la trayectoria eliptica descrita por la pelota se hace más y mas excéntrica. Sin embargo, el tiempo que tarda en caer es siempre el mismo: 2πa
Este extraño comportamiento se entiende mejor al observar que en la geometría AdS el tiempo está "enrollado" alrededor del hiperboloide formando círculos de longitud 2πa (1):
La pregunta clave que nos hacemos a continuación es: ¿Que sucederá si utilizamos un rayo de luz láser que escape del observador a la máxima velocidad permitida c? La respuesta a esta pregunta es muy difícil de creer: ¡la luz recorrerá una distancia infinita en un tiempo finito! ¿Como es esto posible?
Alcanzando el infinito en tiempo finito
¿Como es posible recorrer una distancia infinita en un tiempo finito? Para tratar de entender esto de la forma más intuitiva posible utilizaremos una imagen geométrica. Lo primero es dibujar una "rodaja tridimensional" de un espacio-tiempo AdS, esta será el hiperboloide de ecuación:
Donde L es un número real positivo.
El hiperboloide es la figura que se obtiene al rotar la hipérbola entorno al eje vertical. La ecuación de la hipérbola es:
Donde a y b son los "vértices" en los ejes x,y:
Las rectas diagonales punteadas son las asíntotas de la hipérbola y son las rectas de pendiente b/a. A medida que aumentamos el valor del eje X la hipérbola tiende asíntoticamente a la recta Y=b/aX de modo que esta solo podría ser alcanzada por la hipérbola en el infinito.
Volvamos a nuestro hiperboloide tridimensional. La intersección del hiperboloide con el plano delimitado por los ejes X-Y es un círculo (esto puede verse fácilmente haciendo Z=0 en la ecuación del hiperboloide) por lo que L será el radio de ese círculo:
La métrica del hiperboloide puede escribirse como ds2=dx2+dy2−dz2 . Si consideramos un cuerpo moviéndose radialmente a lo largo del eje X (por lo tanto dy2=0) tenemos: ds2= dx2-dz2. Esta es la ecuación de una hipérbola con a=b=1:
La asíntota de la hipérbola es la recta con pendiente unidad y=x.
Por la relatividad especial sabemos que si la métrica de un trayecto es positiva (2), es decir, "timelike" el cuerpo se mueve a velocidades menores que c y si la métrica es cero el trayecto es el de un rayo de luz viajando a velocidad c. El caso de un cuerpo en reposo corresponde al mayor valor positivo de la métrica, es decir cuando dz2=0. Por tanto, un observador en reposo se moverá en el plano Z=0. Un observador en reposo en el instante to en el punto Po realizará la siguiente trayectoria en el espacio-tiempo AdS:
En relatividad general el tiempo propio de un observador viene dado por la longitud del trayecto (la linea de mundo) que realiza a través del espacio-tiempo cuatridimensional. En este caso concreto de un observador en reposo esta trayectoria es simplemente 2πa.
Para un cuerpo en movimiento nuestra métrica ds2= dx2-dz2 tendrá ahora dos componentes: una en el eje X y otra en el eje Z, por tanto, las trayectorias estarán en un plano inclinado respecto a los ejes X-Z. Este plano es por tanto el plano ax+bz:
La pendiente del plano será b/a. La intersección de este plano y el hiperboloide es una elipse. La elipse corta al círculo en dos puntos: Po y P1. El semicirculo entre Po y P1 en el plano Z=0 es el trayecto realizado por el observador en reposo y la semielipse del plano inclinado es el trayecto realizado por la pelota con velocidad v. A medida que v aumenta el plano se inclina más y más (el cociente b/a determina la pendiente del plano, si a>b la métrica es positiva pero a medida que b y a se igualan la elipse se hace más y más larga y la trayectoria se aproxima a la de un rayo de luz (ds2=0 y 45º de inclinación).
Ahora llegamos al punto crucial: cuando alcanzamos la pendiente límite de 45º obtenemos la trayectoria de un rayo de luz y esta trayectoria coincide con la asíntota del hiperboloide. Esto quiere decir que el trayecto realizado por un rayo de luz finaliza en el borde asintótico del espacio-tiempo AdS el cual está situado a una distancia infinita de cualquier otro punto de la geometría AdS.
Sin embargo, como puede verse en la figura, el punto Po representa el momento en el que el objeto es lanzado por el observador y P1 el momento en el que el objeto regresa al observador. Como puede observarse ¡independientemente de la inclinación del plano el observador en reposo (linea roja) mide un tiempo finito 2πa¡
El hecho clave es que independientemente de a y b, es decir, de la energia inicial, la elipse corta al círculo en 2 puntos cuyo arco es finito y por tanto ¡el tiempo propio medido por el observador es finito incluso en el caso en el que el trayecto es una elipse de longitud infinita!
En un espacio-tiempo AdS el infinito solo puede alcanzarse usando un rayo de luz, de hecho, si colocamos un espejo en el borde infinito, el rayo rebotará en el espejo y llegará al punto de partida en un tiempo finito desde el sistema de referencia de un observador en reposo. ¡En un espacio-tiempo AdS el infinito es un lugar físicamente localizado! Hay que tener en cuenta que para un rayo de luz el tiempo propio no está definido (no hay un sistema de referencia en el que la luz esté en reposo) esto unido a la extraña geometría AdS nos permite "presenciar" uno de los fenómenos más extraños que puedan imaginarse.
El espacio-tiempo AdS es sin duda extraño y exótico, sin embargo, existe un lugar en nuestro Universo donde esta geometría podría existir realmente (2): en el interior de los agujeros negros.
Por si esto no fuese suficientemente asombroso el borde infinito de la geometría AdS esconde un profundo secreto relacionado con la naturaleza del espacio-tiempo: en el se puede codificar de forma holográfica toda la información sobre la geometría cuatridimensional AdS. La famosa conjetura AdS/CFT nos indica que un sistema cuántico en tres dimensiones con simetría conforme formulada en el borde de un espacio-tiempo AdS es equivalente al propio espacio-tiempo AdS cuatridimensional. Esto es posible porque ambos sistemas tienen exactamente el mismo grupo de simetrías y por tanto son matemáticamente equivalentes.
Utilizando coordenadas conformes la geometría hiperbólica AdS puede mapearse en una geometría cilíndrica donde el borde infinito se traslada al borde del cilindro.
Por todo esto podemos afirmar que el infinito guarda grandes secretos, incluido uno que podría resolver la naturaleza última del espacio-tiempo.
«Si se limpiaran las puertas de la percepción, todo le parecería al hombre tal como es, infinito». William Blake.
Notas:
(1) En realidad la coordenada temporal no se "enrolla" entorno a la geometría AdS formando círculos cerrados sino formando un solenoide para evitar trayectorias cerradas de tiempo que violan la causalidad. El periodo del solenoide es 2πa.
(2) Dependiendo de la convención la métrica "timelike" puede ser positiva o negativa dependiendo de si la coordenada temporal se considera negativa o positiva.
(3) La geometría de ciertos agujeros negros puede considerarse AdS solo bajo ciertas condiciones concretas.
Fuentes:
The bizarre anti deSitter spacetime , Geometry of (anti) deSitter spacetime , Physics stack exchange