NÚMEROS COMPLEJOS: ENTRE LA REALIDAD Y LA i-REALIDAD

De entre todas las actividades humanas existe una disciplina especial, una actividad en la que los sesgos, las preferencias o los prejuicios propios del resto de actividades humanas no tienen cabida. Esta disciplina es la única que posee una condición Universal y absoluta y es la clave del increíble éxito de la Física para explicar el mundo y del enorme éxito tecnológico que ha logrado nuestra especie. Sin duda la Matemática es una ciencia especial.

En este artículo vamos a explorar una de las partes más "misteriosas" y fascinantes de esta ciencia especial, una parte que nos sumergirá en un mundo nuevo, en una nueva dimensión: el mundo al otro lado del espejo, el mundo de los números complejos.

Una "asimetría" en el sistema de coordenadas cartesiano

Consideremos un cubo de 2 metros de lado.Este espacio se puede definir como un volumen de 8 metros cúbicos y que responde a la ecuación x3= 8.

La solución a esta ecuación es muy sencilla: x=2, evidentemente el lado del cubo mide 2 metros. Pero, ¿es esta la única solución posible a esta ecuación? El mismísimo Gauss demostró en 1799 el que se conoce actualmente como el teorema fundamental del álgebra: todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, es decir, la ecuación anterior de tercer grado tiene que tener ¡ 3 soluciones ! Pero, ¿como es esto posible? ¿cuales son las otras 2 soluciones? La respuesta es: las otras 2 soluciones están ¡ al otro lado del espejo !

Para verlas necesitamos cruzar el espejo, como Alicia en el país de las maravillas:

Es de esperar que en este punto el lector tenga la sensación de estar siendo engañado por un absurdo truco matemático ¿Qué significado pueden tener esos otros 2 números? ¿Por qué el cubo de esos números vale 8?

El sistema usual de coordenadas cartesianas es una manera gráfica de representar valores numéricos, es decir, es una forma de visualizar la geometría de los números y sus operaciones. En este sistema de coordenadas la operación suma puede visualizarse geométricamente como desplazarse hacia la derecha mientras que la resta sería desplazarse hacia la izquierda. Es decir la operación de sumar o restar consistiría en desplazarnos en el eje x (1 dimensión). Consideremos ahora la operación de multiplicar, podemos visualizarla geométricamente como un área en el plano en el que los lados son los números que se multiplican. Por ejemplo, multiplicar 3x2 se representaría como el rectángulo dibujado al desplazarnos 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. Consideremos ahora la operación de multiplicar cualquier número por -1. Geométricamente esto equivale a realizar una reflexión en el plano con respecto al eje y, es decir, equivale a "la imagen en el espejo" del punto en cuestión: Por ejemplo (-3)x2 equivale al rectángulo anterior situado "al otro lado del espejo":

Es decir, multiplicar por -1 equivale a desplazar automáticamente el punto 180º para obtener su imagen especular. Sin embargo, si nos fijamos, este sistema de coordenadas cartesiano tiene una grave "asimetría": en el cuadrante IV no hay ningún rectángulo ya que cuando multiplicamos 2 números negativos tenemos que hacer 2 reflexiones y nos quedamos siempre en el cuadrante I. Esta asimetría no nos permite usar el producto de números negativos en pie de igualdad con los números positivos y es geométricamente inaceptable: unos números si tienen una imagen " al otro lado del espejo" y otros no. Algo está "equivocado" en este sistema de coordenadas.

Hagamos ahora un experimento mental: dibujemos una moneda en el rectángulo del sector I. ¿Cual será su "imagen" al otro lado del espejo? Si la giramos 180º lo que obtendremos será la moneda dada la vuelta. Pero ¿Como se ha girado la moneda instantáneamente? ¿Que significa todo esto? Lo que significa este experimento mental es que para girar 180º un espacio bidimensional de forma continua necesitamos una dimensión extra. Esto es válido para cualquier espacio: para girar un espacio de n-dimensiones de forma continua necesitamos n+1 dimensiones.

Números complejos: las sombras de una geometría de orden superior

Volvamos ahora a nuestras 3 soluciones de la ecuación x3= 8. Fijémonos ahora en el sistema de coordenadas en el que se visualizan las 3 soluciones: el eje x representa la recta que contiene todos los números reales, es decir, todos los números "usuales" están contenidos en esta recta, por tanto ¿Que representa el eje y? La respuesta es bastante espectacular: el eje y representa una nueva dimensión matemática. Pero ¿que significado puede tener esto? Fijémonos en como se representan los números en este nuevo sistema de coordenadas denominado "plano complejo": en lugar de utilizar números individuales (unidimensionales) utilizamos números con 2 componentes (bidemensionales) de forma que el primer número indica la posición en el eje real y el segundo la posición en el eje imaginario de esta forma: z=a+bi. De esta forma podemos representar cualquier punto del plano. Estos puntos pueden también representarse como un vector de módulo ·(a2+b2) y ángulo arctg(b/a) En este nuevo sistema la suma y la resta son simplemente prolongar o acortar la distancia del vector que une el origen con el punto en cuestión. Ahora viene lo interesante. Vamos a multiplicar un número por si mismo, por ejemplo (-1+·3i) x (-1+·3i).

El resultado de elevar al cuadrado cualquier número complejo tiene un significado geométrico muy claro: significa multiplicar el módulo por si mismo y doblar el ángulo en sentido antihorario. En la figura anterior tenemos el resultado de elevar al cuadrado una de nuestras raíces: (-1+·3i), para ello elevamos al cuadrado el módulo: 2x2=4 y doblamos el ángulo 120º x 2=240º y obtenemos un vector de módulo 4 y ángulo 240º es decir el número -2-2·3i. Si volvemos a multiplicar -2-·3i por -1+·3i obtenemos el cubo del número inicial que efectivamente es 8 (aquí tenemos la explicación de por qué -1+·3i es una solución a la ecuación x3= 8).

Es ahora cuando emerge la magia de las matemáticas y su conexión con el mundo físico. Calculemos ahora geométricamente el cuadrado del número 0+1i: multiplicamos el módulo por si mismo 1x1=1 y doblamos el ángulo: 45º x 2= 90º.

Esto nos lleva al punto -1+0y. Es decir, en el plano complejo el cuadrado del número i es -1. Un momento, pero si el cuadrado de i es -1 entonces, ¡ i tiene que ser igual a la raíz cuadrada de -1 ! En el plano complejo la raíz de -1 existe y está en la dimensión compleja entre 1 y -1. ¿Alguien puede pensar ahora que las matemáticas son aburridas?

Si nos fijamos ahora en el plano complejo podemos ver que la asimetría con los números negativos que teníamos antes ha desaparecido, todos los números están en pie de igualdad.. Por esto los matemáticos dicen que el cuerpo de los números complejos es un cuerpo algebraicamente cerrado, al contrario que el de los números reales. Ahora tenemos una nueva y poderosa herramienta para explorar el mundo, los números complejos son otro espectacular ejemplo de la intrincada relación entre las Matemáticas y la Física. Veamos a continuación el enorme poder de este sistema numérico.

El enorme poder de los números complejos

Carl Friedrich Gauss fue sin duda una de las mentes más brillantes de la historia de la humanidad. El 30 de Marzo de 1796 Gauss descubrió un secreto matemático que había permanecido oculto durante miles de años. Este descubrimiento le hizo decantarse definitivamente por las Matemáticas como el objetivo fundamental de su vida profesional. Lo que Gauss descubrió fue un puente inesperado entre la geometría y el álgebra construido por unas nuevas entidades matemáticas: los números complejos. Ya entonces Gauss tuvo la sensación de estar tratando con algo "superior" casi "místico". Ese algo superior era una geometría que actuaba en una escala jerárquica más elevada, como otra dimensión y nosotros solo podíamos captar las "sombras" que proyecta esa geometría superior.

El teorema fundamental del álgebra nos dice que una ecuación de orden 3 tendrá 3 soluciones complejas, una de orden 4 tendrá 4 y así sucesivamente, además, estas soluciones dividen el círculo complejo en ángulos iguales. Esta propiedad es la que Gauss descubrió en 1799 y utilizó para calcular el lado de un polígono regular de 7 lados, o de 11 lados o de 23 lados inscrito en una circunferencia. Bastaba calcular las soluciones complejas de las ecuaciones x7=r7, x11=r11 y x23=r23 respectivamente. Nadie desde la época de la antigua Grecia fue capaz de lograrlo.

Las "sombras" de una geometría de dimensión superior: las zonas donde la función compleja intercepta el "eje real" representan las soluciones de las ecuaciones de orden 2, de orden 3 y de orden 4 respectivamente.

Pero el poder de los números complejos va mucho más allá.

Los números complejos como núcleo fundamental de la mecánica cuántica

En Física las ecuaciones diferenciales de la forma y´´+ y = 0 aparecen en una enorme cantidad de situaciones diferentes (movimiento armónico simple, movimiento acelerado,etc) ya que la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo representa la aceleración de un cuerpo o partícula. La ecuación de Schrodinger que representa la evolución de la función de onda cuántica de una partícula no relativista es una de estas ecuaciones.

Puesto que en la ecuación tenemos que y''=-y, para solucionarla, tenemos que encontrar una función que solo invierta el signo cuando la derivamos 2 veces. La solución más obvia es: y=erx donde r es una constante. Al sustituir la solución en la ecuación tenemos: r2erx+erx=0 por tanto tenemos: r2+1=0 o sea que r=+-·(-1) y por tanto r=+-i. ¡ La solución a la ecuación que representa el movimiento de una partícula REAL tiene que pasar por admitir un significado físico a la raíz de -1 ! De hecho, la solución a la ecuación es: y=eix.

Además de esto, existe otro hecho que demuestra claramente que los números complejos se encuentran en el mismo núcleo de las leyes fundamentales de la naturaleza. En mecánica cuántica, la probabilidad de encontrar una partícula en un determinado sitio y en un determinado instante está definida por un número complejo denominado amplitud (A), de tal forma que la probabilidad de encontrar a la partícula es: P=|A|2. Esto significa que primero tenemos que calcular el módulo del número complejo y después elevarlo al cuadrado. En el caso de estados superpuestos la probabilidad es la suma de las amplitudes, es decir, tenemos que sumar números complejos para llegar a los resultados correctos en mecánica cuántica. Sin embargo, nunca detectamos amplitudes complejas en los experimentos, solo detectamos sus módulos al cuadrado, es como si solo pudiéramos detectar "las sombras" o las "proyecciones" de estos números sobre el eje Real.

¿Que pensaría Gauss si hubiese tenido ocasión de conocer la mecánica cuántica?

Todo esto demuestra una vez más la intrincada relación entre Matemáticas y Física y demuestra la increíble "cuasi-realidad" de los conceptos matemáticos: la raíz de (-1) tiene una "existencia" a mitad de camino entre 1 y -1 pero para verla tenemos que mirar entre los "huecos" de estos números, tenemos que hacer uso de una nueva dimensión.

Fuentes: Phys771 Lecture 9, El teorema fundamental del álgebra