Este artículo es una contribución al XXVI Edición del Carnaval de la Física que en este caso está alojado en el blog Cuentos Cuánticos.
Las ecuaciones de Newton predicen de forma bastante exacta el valor de la interacción gravitatoria entre los distintos planetas del sistema solar. Además de esto estas ecuaciones predicen también otro efecto: la precesión de la órbita de los planetas. Este efecto consiste en que la órbita elíptica de los planetas no permanece exactamente igual a lo largo del tiempo sino que se desplaza ligeramente hacia un lado manteniendose en el plano de la órbita (ver figura 1):
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Figura 1: La órbita se desplaza ligeramente con el tiempo en el plano de la órbita.
Este efecto predicho por las leyes de Newton es debido fundamentalmente a la interacción gravitatoria del resto de los planetas sobre todo en el caso en el que dos planetas se encuentran en el punto más cercano de sus órbitas respectivamente.
Desde finales del siglo XIX y principios del siglo XX ciertas mediciones astronómicas habían estado centradas en medir el valor de la precesión de la órbita del planeta más cercano al sol: Mercurio. Las observaciones midieron que la órbita de Mercurio se desplazaba unos 5600 arcosegundos por siglo.
Las ecuaciones de Newton, teniendo en cuenta todas las interacciones de los demás planetas, la deformación ligera del Sol debido a su propia rotación y teniendo en cuenta la propia rotación y traslación de la Tierra alrededor del Sol predicen una precesión de 5557 arcosegundos por siglo, es decir, existe una discrepancia de 43 arcosegundos por siglo. Esta discrepancia, aunque pequeña empezó a constituir un problema serio para los físicos y astrónomos debido a los siguientes factores:
1º) La precesión observada en los demás planetas era perfectamente explicada por las leyes de Newton, sin embargo en el caso de Mercurio parecía que algo "extraño" estaba sucediendo.
2º) Al tener en cuenta la incertidumbre debida a posibles errores de medida se encontró que claramente la suma de las incertidumbres en las medidas no podían explicar la discrepancia.
3º) Las medidas iniciales fueron realizadas con telescopios ópticos, medidas posteriores mucho más refinadas confirmaron el valor de la precesión de Mercurio: 5599,7 arcosegundos por siglo.
4º) Después de 50 años de mediciones astronómicas la precesión acumulada tiene ya un valor más considerable y más fácil de medir, dividiendo este valor entre 50 obtenemos una aproximación razonablemente buena de la precesión correcta que coincide con el valor antes mencionado.
La discrepancia de 43 arcosegundos por siglo se mantenía y no podía ser explicada por las ecuaciones de Newton. Multitud de teorías "ad-hoc" se formularon para tratar de explicarla: polvo estelar entre Mercurio y el Sol, la existencia de un planeta interior a Mercurio (Vulcano) etc pero ninguna de ellas pudo confirmarse.El misterio continuaba intacto.
El 18 de Noviembre de 1915 un hombre que por entonces se hallaba trabajando en Berlín, con la sola ayuda de unas ideas iniciales, su enorme intelecto y un papel y un lápiz fue capaz de explicar exactamente esa discrepancia de 43 arcosegundos por siglo, sus cálculos arrojaron el valor de 42,98+-0,04 arcosegundos por siglo ¡Increíble! ¿Como lo hizo? ¿Por qué se producía la discrepancia?
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Como ya habréis adivinado ese hombre se llamaba Albert Einstein y cuando halló la solución a este enigma todavía no había publicado las ecuaciones definitivas de su gran obra: la Relatividad General aunque estaba a punto de hacerlo. Como Einstein no conocía la solución exacta para el caso de una masa completamente esférica (está solución sería encontrada por Schwarzschild apenas un mes más tarde) Einstein trabajó con una aproximación a la solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo del vacío, escribiendo su métrica “aproximada” empleando coordenadas Cartesianas (rectangulares), la cual escrita en coordenadas polares toma la siguiente forma:
(ds)² = (1 - 2M/r) (dt)² - (1 + 2M/r) (dr)² - r² (dØ)² - r² sen² (Ø) (df)²
Schwarzschild demostraría después que el coeficiente de (dr)²debería ser realmente (1-2m/r)-1, lo cual está de acuerdo con la aproximación de Einstein únicamente hasta el primer orden en M/r.
En relatividad general los cuerpos siguen la llamada ruta geodésica que viene dada por la ecuación:
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donde F viene dado por:
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Haciendo cálculos obtenemos la siguiente ecuación:
u= m²M/L²[1+e cos((1-Ø)x)] donde Ø es: Ø= 3MG/a(1-e²)c² (a=eje mayor elipse e=excentricidad). Esta ecuación es igual a la de la elipse sólo que tiene una perturbación Ø en la dependencia angular, de forma que el periodo no es 2pi sino un poco mayor: T=2pi/1-Ø=2pi(1+Ø) Por tanto la perturbación viene dada por la siguiente fórmula (cuyo resultado está dado en radianes por cada revolución completa alrededor del Sol):
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En esta relación el parámetro a es lo que llamamos el semieje mayor de la órbita (igual a la mitad del diámetro mayor de la elipse) y e es la excentricidad de la elipse. Puesto que la distancia del perihelio p está relacionada al semieje mayor mediante p = a(1-e), podemos escribir también:
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La fracción GM/c² es igual a la mitad de una distancia conocida como el radio de Schwarzschild Poniendo valores: Constante de Gravitación Universal = G = 6.674215·10-11 m3/kg-seg² Masa del Sol = M = 1.99·1030 Kilogramos encontramos que para el Sol: GM/c² = (6.674215·10-11) (1.99·1030) /(3·108)² = 1.476 Kilómetros. Esta es una distancia muy pequeña si la comparamos con la distancia del perihelio de Mercurio de 46 millones de kilómetros al centro del Sol. Por lo tanto, el desplazamiento angular del perihelio por revolución es una cantidad muy pequeña. Utilizando directamente la fórmula de arriba, obtenemos dØ = 4.99·10-7 radianes por órbita, lo cual utilizando la conversión: 2p radianes = 360 grados = 21,600 minutos = 1.296·106 segundos 1 segundo de arco = 1" arco = 4.848·10-6 radianes encontramos que equivale a
(4.99·10-7)/(4.848·10-6) = 0.103 segundos de arco por revolución , y puesto que Mercurio le da la vuelta al Sol cada 87.969 días o bien: (87.969 días) /(365 días/año) = 0.241 año/revolución entonces el desplazamiento angular dØ de la órbita a causa de la precesión es igual a: dØ = (0.103"/revolución)/(0.241 año/revolución) dØ = 0.43"/año = 43"/siglo.
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Imaginar la emoción de Einstein cuando obtuvo este resultado, en ese momento Einstein supo que su teoría era correcta y que iba a producir una de las revoluciones científicas más grandes de la historia de la humanidad modificando totalmente nuestras concepciones del espacio, el tiempo y la gravedad. El espacio y el tiempo ya no son entidades separadas sino que forman parte de un todo 4-dimensional y la gravedad ya no es una fuerza en el sentido convencional sino que es el resultado de una deformación del espacio-tiempo: no existe "algo" que tira de "algo" sino que es el propio espacio-tiempo el que se "acorta" entre los objetos bajo la acción de la masa-energía.
Por último recordemos que el término de corrección a las leyes de Newton solo puede ser explicado por la Relatividad General y el motivo de que esta corrección sea mayor en Mercurio es debido a que el semieje mayor de la elipse (a) es menor cuanto menor es la distancia al cuerpo central (en este caso el sol), en el caso de 2 púlsares que giran uno respecto al otro (a) es muy pequeño y este efecto explica el movimiento en espiral observado. Otro efecto que no podría explicarse sin la Relatividad General.
Fuentes: La teoría de la relatividad