La Física fundamental moderna ha llegado a un grado de abstracción y complejidad sin precedentes. Disciplinas matemáticas aparentemente muy diferentes como la teoría de grupos, álgebras no conmutativas, teoría de perturbaciones, métodos de renormalización, análisis complejo o topología de espacios gauge se unen para tratar de explicar el Universo que nos rodea a escalas cada vez más fundamentales.
Las matemáticas nos permiten "visualizar" y cuantificar estructuras y propiedades fundamentales del Universo y predecir la existencia y el comportamiento de nuevas entidades Físicas que aún no han sido encontradas.
Nuestra mejor teoría sobre las entidades fundamentales de la materia y sus interacciones a escala fundamental se llama modelo estándar (SM). En el se recojen 3 de las 4 fuerzas fundamentales: la fuerza electromagnética, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil pero deja fuera la gravedad. A pesar de que el SM ha sido
verificado en innumerables experimentos existen fuertes indicios de que a energías muy elevadas el SM tiene que ser sustituido por otra teoría aún más fundamental y los Físicos están deseosos de encontrar pistas sobre como tiene que ser esta nueva Física más alla del SM.
Hace 2 años se encontró en el LHC la pieza clave que faltaba en el SM: el bosón de Higgs, sin embargo, es poco conocido por el público en general que varias predicciones del SM aún no han sido encontradas por los Físicos. En este artículo nos centraremos en 2 de ellas: los monopolos magnéticos y los instantones. La Física-Matemática en la que se basa la hipotética existencia de estas 2 entidades es bastante compleja, sin embargo, las ideas clave pueden ser entendidas por cualquier persona con conocimientos medios de Física y de Matemáticas. En este artículo se tratarán de explicar estas ideas clave sin utilizar matemáticas complejas, sin embargo, esto hace necesario utilizar analogías y simplificaciones que inevitablemente conducen muchas veces a inexactitudes y ambigüedades. Los lectores que deseen conocer las explicaciones exactas a los fenómenos que se van a discutir pueden consultar las fuentes que abajo se indican.
El objetivo de este artículo es que el lector pueda "intuir" las estructuras Físico-Matemáticas que permanecen ocultas justo en el límite entre la realidad Física y la "realidad" Matemática. ¡Bienvenidos a las estructuras ocultas de la realidad!
El Lagrangiano como estructura Física fundamental
La estructura llamada Lagrangiano es una de las más fundamentales de la Física. El Lagrangiano es simplemente la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial, para una partícula puntual de masa m que se mueve a lo largo del eje x el Lagrangiano es: L= 1/2m(dx/dt)2-V(x).
A nivel cuántico el vacío no está totalmente vacío sino que está lleno de lo que se denomina campos cuánticos. Podemos visualizarlos como unas extensiones enormes (infinitas) de energía que se pueden representar por números en el espacio. Cada número representa el valor del campo en una cierta posición del espacio-tiempo.
El más sencillo y elemental de los campos es el llamado campo escalar y esta descrito por el Lagrangiano: L=dØd´Ø´-1/2m2ØØ´ Donde Ø es un campo complejo y Ø´ es su conjugado. Si nos fijamos en la sencilla expresión del Lagrangiano de un campo escalar podemos obtener 2 conclusiones muy importantes:
1ª) Como en tantas otras ecuaciones diferenciales la solución no es única. Puesto que la derivada de una constante es 0 siempre podemos sustituir nuestro campo Ø por Ø+cte y el Lagrangiano permanecería sin cambios.
2ª) Si multiplicamos al campo por el término eiß nuestro Lagrangiano no cambia ya que al sustituir en la expresión del Lagrangiano Ø por Øeiß y Ø´por Ø´e-iß (el conjugado de eiß) entonces ambos términos se anulan. Multiplicar el campo por el término eiß equivale a girarlo un ángulo ß entorno a un círculo de radio unidad:
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Es decir nuestro Lagrangiano es invariante ante rotaciones en un círculo, cualquier observador situado en cualquier punto del círculo medirá el mismo Lagrangiano (1). Esto realmente es una redundancia: cualquier punto del círculo nos sirve como solución, en Física teórica estas redundancias se denominan gauges y por tanto la transformación Ø por eißØ se denomina transformación gauge. En teoría de grupos el
término eiß forma parte del grupo U(1) por eso se dice que nuestro Lagrangiano presenta una simetría gauge U(1).
Hasta ahora el único campo escalar descubierto es el campo de Higgs. Si representamos el potencial del campo de Higgs en función del valor del campo obtenemos la famosa gráfica del "sombrero mejicano":
El potencial del Higgs es simétrico si nos Simetría de una esfera
situamos en el origen también llamada SO3 o SU2
En la gráfica se aprecia claramente que el campo no es solo simétrico con respecto a el ángulo azimut que delimita el círculo (simetría U(1)) sino que si nos situamos en el origen, también es simétrico respecto al ángulo polar y el radio que describen cualquier punto de una esfera, por esto, decimos que el campo presenta, además de una simetría U(1) una simetría SO(3) que representa la simetría de una esfera.
Existe un grupo de simetría muy importante llamado SU(2) que es matemáticamente equivalente (isomorfo) al grupo SO(3), por eso se dice que el campo de Higgs presenta una simetría SU(2 ) X U(1), sin embargo, como veremos después, el grupo SU(2) presenta una importante diferencia respecto a SO(3).
La ruptura espontánea de la simetría
Todo sistema físico con energía potencial V(x) tenderá a evolucionar hacia su estado de mínima energía potencial. Por ello, cuando el campo de Higgs se encuentra en el estado de valor nulo del campo (origen de coordenadas en lo alto de la "colina") es inestable, por eso de denomina estado de "falso vacío" ya que en ese punto el valor del campo es 0 pero no lo es su energía potencial. En un determinado instante el campo "rodará" hacia su estado de "vacío verdadero" en el que la energía potencial es mínima (aunque el valor del campo no lo es).
Cuando el campo de Higgs "ha rodado" hacia su estado de vacío verdadero la simetría "esférica" se ha roto, ya no hay simetría con respecto a los 3 parámetros que definen los puntos de una esfera. Cuando esto sucede decimos que la simetría SU(2) X U(1) se ha roto y que el campo ha experimentado un cambio de fase.
El grupo SU(2) es muy importante ya que sirve para representar matemáticamente a las partículas de spin 1/2 como el electrón. Como dijimos este grupo es isomorfo al grupo SO(3) que representa los giros de una esfera, sin embargo, este grupo tiene una importante diferencia con respecto a los giros de una esfera "normal" tridimensional: para dejar la esfera invariante, es decir, para que vuelva a su posición original hay que girar la esfera 2 veces. Si la giramos solo 360º la esfera presenta un valor "invertido". Si dibujamos una flecha hacia arriba en uno de los puntos de la esfera y la giramos
360º la flecha ahora ¡apuntará hacia abajo! para volver al estado inicial (flecha hacia arriba) hay que volver a girarla 360º . Esto es un análogo 3-dimensional a lo que sucede en el caso 2-dimensional de la cinta de Moebius:
Por supuesto este efecto se desarrollaría en un espacio que no tiene nada que ver con nuestro espacio habitual de 3+1 dimensiones. Este "extraño" efecto encaja con el comportamiento de la fase compleja de las partículas como el electrón o el neutrón donde si giramos la fase 360º el electrón invierte su spin de 1/2 a -1/2 y solo vuelve a su "posición inicial" al girar la fase 720º:
Defectos topológicos: las estructuras ocultas de la realidad
Es en este punto cuando nos enfrentamos a las "estructuras ocultas de la realidad".
Ahora fijense en el siguiente esquema:
En el esquema se muestra una corriente eléctrica de intensidad I que fluye a lo largo del camino C2 creando un campo magnético. Ahora nos preguntamos cual es el trabajo generado en el proceso de transportar una carga magnética (un monopolo) a lo largo del camino cerrado C1 que atraviesa el campo magnético generado por la corriente. Ya en 1833 Gauss se dio cuenta de que este trabajo no depende de los detalles de la geometría de los caminos C1 y C2, solo depende de la cantidad de veces que C1 atraviese C2. El trabajo producido es: W=g§c1 B(s1)ds1=4PIg/cI lk{c1,c2} donde lk{c1,c2}=1/4PI§c1 §c2 (ds1xds2)S12/|S12|3
El trabajo producido solo depende de la topología del camino seguido, lo que al final se traduce en la cantidad de veces que C1 atraviesa C2 que viene dado por un invariante entero: el "linking number" lk{c1,c2} Los trayectos con el mismo lk son topológicamente equivalentes.
La topología es la rama matemática que estudia como objetos compactos son topológicamente equivalentes entre si si se pueden obtener uno del otro mediante deformaciones continuas (sin hacer cortes o agujeros). La topología nos dice que los trayectos C1 que atraviesan 1 vez el límite impuesto por C2 son equivalentes y tienen un "linking number" común que permanece constante, los que la atraviesan 2 veces tienen un "linking number" o carga topológica también equivalente y con un linking number superior (+1) a los del caso anterior y así sucesivamente.
Al analizar la topología del espacio de simetrías SU(2) encontramos que su carga topológica es 1 porque como vimos es necesario girar 2 veces la "esfera" para volver al punto inicial, es como si el espacio SU(2) atravesase 2 veces el círculo C1. Esto produce que el espacio SU(2) tenga una topología no trivial que tiene consecuencias físicas medibles.
Los monopolos magnéticos y los instantones
Antes de romperse la simetría SU(2) X U(1) y que el potencial del Higgs alcance la zona de vacío verdadero, nos encontramos con que cualquier punto del círculo inferior representa un estado de vacío del campo. Si mapeamos punto a punto el campo gauge SU(2) en el círculo de los vacíos del Higgs nos encontramos que el mapeo completo implica 2 vueltas alrededor del círculo. Esto implica una carga magnética extra neta en el interior del campo como si hubiésemos introducido un imán en su interior. En esta fase se produce una configuración de flujos de energía estática muy similar al que se da en un superconductor al alcanzar cierta temperatura crítica y los polos del imán se comportan como vórtices de los que fluye el flujo magnético. Estos polos se comportan como defectos topológicos similares a los que se dan en un cristal. De forma análoga a los materiales superconductores, aparecen zonas alrededor de los vórtices en los que el
campo magnético es expulsado del campo, en estas zonas sucede lo mismo que en un superconductor: el fotón adquiere masa y el campo magnético se comporta como un campo de corto alcance que no penetra en estas zonas. Al quedar "expulsado" el campo magnético alrededor de los vórtices (polos) lo que observamos es unos puntos donde el campo magnético fluye hacia fuera (fuentes) o hacia dentro (sumideros) pero no alcanzan nunca el otro polo, lo que tenemos es un monopolo magnético.
Al producirse la ruptura de la simetría se produce un cambio de fase, sin embargo, el nuevo vacío no se expande de forma totalmente homogénea por el espacio sino que se producen distintas zonas o dominios con diferentes velocidades de expansión del nuevo vacío. Los puntos donde hay defectos topológicos (los vórtices o polos) quedan "condensados", es decir, no acaban de romper la antigua simetría lo que se traduce en puntos singulares: los monopolos magnéticos.
Existen monopolos magnéticos de diferentes tipos y aunque se ha descrito la forma más básica de formación de monopolos existen importantes diferencias teóricas entre la formación de unos y otros. Los monopolos más ligeros ya se están buscando en distintos experimentos como en los detectores del LHC aunque hasta ahora todavía no se han encontrado.
Las transiciones u oscilaciones entre diferentes estados de vacío producen la aparición de una fuerza neta ya que en estos puntos de vacío el campo de Higgs no es exactamente 0. Cuando las oscilaciones entre los distintos vacíos se producen entre estados con distinta carga topológica (linking number) se producen excitaciones del campo tipo partícula (las partículas se consideran excitaciones o vibraciones del campo cuántico) llamadas instantones. Los campos de instantones aparecen y desaparecen en fracciones de tiempo pequeñísimas pero tienen efectos medibles, de hecho, se piensa que son responsables de la masa del mesón n´, masa que experimentalmente es muy superior a la que predice la teoría.
Lo que debe quedar claro es que tanto los monopolos magnéticos como los instantones son soluciones a las ecuaciones del movimiento del campo que se obtienen del Lagrangiano (ecuaciones no lineales) y que no surgen debido a una nueva simetría aún por encontrar sino que tienen un origen topológico. El análisis de la topología de los
espacios de simetría y de los campos gauge nos conduce a un nuevo campo Físico-Matemático que nos permite acceder a nuevos aspectos aún desconocidos de la realidad Física y vislumbrar las "estructuras ocultas de la realidad".
Tipos y características de los monopolos cosmológicos
A lo largo de su historia de expansión, el Universo ha pasado por distintos cambios de fase o rupturas espontáneas de simetría:
Los distintos cambios de fase darían lugar a distintos tipos de monopolos magnéticos:
Tipo I: Monopolos Supermasivos
Los cálculos teóricos de las teorías de gran unificación (teorías GUT) predicen que durante la ruptura de simetría del grupo SU(3) X SU(2) X SU(1) en los primeros instantes del Universo, se produjeron una enorme cantidad de defectos topológicos que inevitablemente tuvieron que producir una inmensa cantidad de monopolos magnéticos de masa enorme. Se estima que la masa de estos monopolos se encuentra entre 1016 y 1017 GeV que es una energía un billón de veces más grande que la energía que podemos alcanzar en el acelerador de partículas más potente.
Estos monopolos supermasivos viajarían a una velocidad entre 10-1 y 10-4 veces la velocidad de la luz. Según los cálculos teóricos debido a la enorme cantidad de monopolos creados en esta fase estos serían facilmente detectables en la actualidad cosa que evidentemente no sucede. La solución a este problema cosmológico es la inflación cósmica que ocurrió en los primeros instantes de vida del Universo, la inflación expandió el Universo a un ritmo tan enorme que la densidad de monopolos se vio tan diluida que en la actualidad aún no hemos detectado ninguno.
Tipo II: Monopolos de masa intermedia
Estos monopolos debieron de crearse durante las últimas etapas de la ruptura de la simetría SU(3) X SU(2) X U(1) y tienen masas entre 107 y 1013 GeV (aunque son más ligeros aún tienen una masa enorme). Estos monopolos viajan a velocidades cercanas a la de la luz ya que al ser más ligeros pueden ser acelerados por el campo magnético de galaxias o estrellas de neutrones y adquirir una energía enorme.
Uno de los grandes misterios cosmológicos es la existencia de rayos cósmicos de energías superiores a 1020 eV. Partículas de esta energía e incluso superior han sido detectadas en la atmósfera y no se conoce que mecanismos pueden producir energías tan inmensas. Aunque se especula que su origen puede estar en agujeros negros
supermasivos recientemente han aparecido estudios teóricos que especulan con que estas partículas pueden ser en realidad monopolos magnéticos ultrarelativistas de masa intermedia.
Tipo III: Monopolos de baja masa
Estos monopolos son predichos por varios modelos teóricos. En el LHC se están buscando monopolos de baja masa de entorno a 4000GeV y se espera que el año que viene cuando el acelerador funcione a la máxima potencia puedan descubrirse estos monopolos de baja masa.
Para finalizar vamos a poner una "foto"del extraño "personaje" del que estamos hablando y que es el producto de lo que hemos denominado "las estructuras ocultas de la realidad":
La estructura del monopolo GUT recuerda a una instantánea de la historia del Universo: en su interior están "condensadas" las distintas fases que éste ha atravesado a lo largo de su evolución. Una vez más el enorme poder de las Matemáticas y la Física predicen la existencia de entidades físicas de características sorprendentes y los físicos experimentales se lanzan a la caza de estas extrañas y fascinantes creaciones del Universo.