En el artículo anterior vimos como la entropía de entrelazamiento (EE) mide la cantidad de microestados (qbits) entrelazados entre dos sistemas. También vimos como, si la información es conservada, un AN debe cumplir la denominada curva de Page. En este artículo veremos los fascinantes fenómenos que implican la posible resolución de la paradoja de la información. Pero antes de continuar y estudiar más en detalle como la información consigue escapar del AN necesitamos conocer dos conceptos importantes: la dualidad AdS/CFT y las llamadas superficies de Ryu-Takayanagi (RTS).
Dualidad AdS/CFT y Holografía
El interior de un AN puede considerarse de forma aproximada como un espacio-tiempo AdS (Anti-De-Sitter). El espacio-tiempo AdS tiene curvatura negativa y cualquier objeto situado dentro de el estará inmerso en un potencial gravitatorio.
Figura 1
Podemos representar esquemáticamente el espacio-tiempo AdS como un cilindro donde el eje horizontal es el espacio y el eje vertical representa el tiempo:
Figura 2
La dualidad AdS/CFT establece que toda la información sobre la geometría del espacio-tiempo AdS (la parte interior al círculo "Frontera") está almacenada en una CFT que reside en el borde del espacio-tiempo AdS (círculo "Frontera").
La famosa dualidad AdS/CFT nos indica que un espacio-tiempo AdS en n dimensiones es equivalente a una CFT (un sistema cuántico) en n-1 dimensiones que reside en su "borde" asimptótico. Esto significa que toda la información relativa a la geometría y los grados de libertad del interior del AN está almacenada en la CFT que reside en el "borde" del AN. Esto es similar a como se almacena la información en un holograma de ahí el término "holografía".
Puentes de entrelazamiento y la superficie de Ryu-Takayanaka
Vamos a hacer un corte para obtener una "rodaja" del espacio-tiempo AdS en un instante determinado (círculo "Frontera" de la figura 2):
Figura 3
A continuación tomamos dos puntos cualquiera del borde por ejemplo los puntos A y B:
Figura 4
El trayecto más corto entre A y B en el espacio AdS es una geodésica. Si dibujamos la geodésica entre A y B (línea roja figura 5) encontramos que el espacio AdS queda partido en dos superficies que llamaremos AdS1 y AdS2:
Figura 5
La superficie AdS2 es la superficie de Ryu-Takayanagi de la zona del borde entre A y B.
La llamada fórmula de Ryu-Takayanagi establece un vínculo entre entropía y geometría: la entropía de entrelazamiento del borde entre los puntos A y B es proporcional a la superficie mínima, en un tiempo dado en el espacio AdS, que tiene por borde la zona entre A y B, es decir, la zona AdS2. Los espacios AdS1 y AdS2 son complementarios y la EE de ambas superficies es la misma. La dualidad AdS/CFT implica que el borde tiene toda la información sobre el interior, si consideramos solo la zona del borde entre A y B entonces no tenemos toda la información sobre el interior, solo tenemos la información sobre la zona AdS1, sin embargo, un observador situado en la zona AdS1 puede calcular la EE de la zona AdS2 aunque no tenga acceso a ella. De esta forma la zona AdS2 sería similar a un AN y la línea roja se comportaría como el borde holográfico donde está codificada la información del interior del AN. Todo esto nos indica que el límite de la RTS (línea roja) se comporta como un borde holográfico que separa superficies desconectadas.
Hay que destacar un detalle importante: si no hubiéramos partido el borde entre los puntos A y B, es decir, si los puntos A y B abarcasen todo el borde entonces la RTS sería cero: no habría superficie de Ryu-Takaganagi.
Por simplicidad, nos hemos restringido a espacios AdS en dos dimensiones. En tres dimensiones espaciales la imagen de una superficie de Ryu-Takayanagi sería:
Figura 6
La formula de RT es clásica y sirve para espacio-tiempos estáticos. Para espacio-tiempos reales con efectos cuánticos (semiclásicos) dinámicos se utiliza la denominada "Superficie Cuántica de Entrelazamiento" (QES), sin embargo, la idea fundamental en la que se basa es la misma que la que hemos descrito en este apartado.
Por último, falta definir el concepto de puente de entrelazamiento (EW). El EW es simplemente la zona causal de una parte del borde, es decir, la zona AdS que puede ser causalmente afectada por una zona del borde:
Figura 7
La zona W[R] es el puente de entrelazamiento de la parte del borde R. Toda información almacenada en R solo puede afectar causalmente al volumen del interior contenido entre los dos puentes W[R] (los conos de luz se representan formando 45º de inclinación)
El AN antes del tiempo de Page
Ahora ya podemos empezar a estudiar los asombrosos fenómenos ligados a la paradoja de la información, como veremos, el proceso se puede resumir en dos puntos clave.
Un espacio-tiempo con un AN que se evapora puede considerarse como un sistema compuesto por dos zonas diferentes: la parte del interior codificada en la CFT del AN CFTan y la parte exterior en la que se "almacena" la radiación de Hawking codificada en la CFTrad. Como veremos una de las claves principales consiste en la transferencia de información desde la CFTan a la CFTrad.
Cuando no ha pasado mucho tiempo desde que el AN empezó a radiar, es decir, antes del tiempo de Page, el AN se puede describir mediante el siguiente diagrama de Penrose:
Figura 8
La línea de trazas discontinuas es el horizonte del AN y la línea roja en forma de dientes de sierra es la singularidad del AN. La línea rosa representa la posición de un observador situado en el límite del espacio AdS del An (haciendo el papel del borde holográfico del AN). Esta posición varía a lo largo del tiempo: el punto inferior de esta línea es el tiempo inicial cuando el AN aún no se ha formado y el punto superior es el tiempo final cuando el AN ya se ha evaporado y no existe la singularidad. La zona verde representa el puente de entrelazamiento de la CFTan en el instante t y la zona azul el puente de entrelazamiento de la CFTrad.
La primera clave de todo el proceso es la siguiente: en el instante t antes del tiempo de Page el borde del AN contiene la información de todo el interior del AN ya que la "rodaja" espacial en el tiempo t (línea amarilla) está dentro del EW de la CFTan (cono de luz verde), por tanto, toda la información sobre el AN sigue en su interior (codificada en la CFT de su borde asimptótico). La línea amarilla representa la "rodaja" (superficie de Cauchy) de espacio AdS del AN en el tiempo t, por tanto los puntos A y B son equivalentes a los de la figura 4, solo que en este caso la línea abarca todo el interior, y por tanto, no existe ninguna superficie de Ryu-Takayanagi.
Esta etapa se corresponde con la fase 1 de la curva de Page:
Figura 9
En la fase 1 la superficie mínima (la RTS) es cero ya que la Entropía total está dominada por la entropía termodinámica del interior del AN y fuera del AN puede encontrarse una superficie (superficie de Cauchy) de entropía cero.
El AN después del tiempo de Page
En el tiempo de Page sucede algo realmente extraordinario:
Figura 10
En el instante t mayor que el tiempo de Page, el borde ya no tiene información de todo el interior del AN sino que solo tiene información sobre la zona del cono de luz verde (el EW de la CFTan). Ahora los puntos A y B no abarcan todo el interior del AN (línea amarilla) y por tanto, en el tiempo de Page aparece un nuevo puente de entrelazamiento dentro del AN. Esta "nueva zona" localizada en el interior del AN se denomina Isla y está limitada por una "superficie cuántica de entrelazamiento": el punto QES. La situación es análoga a la que vimos en la figura 5, la zona verde se correspondería con la zona AdS1 y la isla sería la zona AdS2 que no es accesible desde el exterior.
La segunda clave del proceso es la siguiente: la información de la región de la Isla ya no está codificada en la CFTan (ya no está en el EW de la CFTan) sino en la CFTrad y por tanto, a efectos de entropía de entrelazamiento, ya no forma parte del interior del AN. Debido a esto, su EE ya no contribuye al total de EE entre el interior y el exterior lo que produce que la EE total comience a disminuir según la Isla aumenta de tamaño. Esto explica la segunda parte de la curva de Page:
Figura 11
La RTS se define como la superficie de Cauchy de menor entropía. En la fase 2 la entropía en el interior del AN comienza a ser menor que la exterior por lo que la RTS ya no será cero y estará localizada en el interior del AN. Por esto, aparece una RTS dentro del AN haciendo que parte de la entropía del interior no cuente como EE. Esto provoca que la EE total disminuya y la curva siga la línea negra en lugar de la línea verde del cálculo original de Hawking.
Esto significa que a partir del tiempo de Page la información comienza a escapar del AN. En términos de holografía, la información de la CFT del AN se ha transferido a la CFT de la radiación de Hawking. Esta transferencia de información en las CFTs implica una reorganización de los microestados en el lado AdS: una parte del espacio-tiempo que formaba el interior del AN ahora forma parte del espacio-tiempo exterior.
A medida que la isla (cuya información está codificada en la CFTrad) aumenta de tamaño y el tamaño del AN se reduce toda la información pasa a estar codificada en la CFTrad (zona azul) y por tanto, al final del proceso, toda la información está fuera del agujero negro:
Figura 12
Esta "transferencia" de información implica por tanto que la información escapa del AN, este proceso puede representarse también a través de la denominada igualdad ER=EPR: todo par de sistemas entrelazados están unidos por una especie de agujero de gusano cuántico. El proceso que hemos descrito puede formularse de forma independiente en términos de ER=EPR a través de lo que se denomina "replica-trick" que tiene en cuenta una superposición de todas las geometrías y topologías posibles. De forma muy esperanzadora esta formulación da resultados equivalentes a los expuestos en este artículo, permitiendo resolver también la curva de Page.
Hay que destacar que si bien todos estos trabajos suponen un gran avance hacia la resolución definitiva de la paradoja de la información aún faltan varios aspectos fundamentales por resolver:
1º) Los AN reales formados por colapso estelar ¿se pueden explicar de forma satisfactoria por métodos holográficos?
2º) ¿Cuál es el mecanismo físico concreto que permite la transferencia de información del interior al exterior? ¿Cuáles son sus "componentes fundamentales"?
3º) ¿Podemos estar seguros de que los efectos basados en gravedad cuántica no influyen en el proceso?
4º) ¿Qué proceso físico podemos utilizar para recuperar la información enormemente "enmarañada" escondida en la radiación de Hawking?
Especulaciones sobre la naturaleza del espacio-tiempo
Finalizaremos este artículo con una serie de preguntas (muy especulativas y personales) sobre la naturaleza última del espacio-tiempo:
- ¿Es la geometría del espacio-tiempo que vemos en nuestro Universo una suma de todas las geometrías-topologías posibles?
- La aproximación basada en "replica-trick" sugiere una transición topológica del espacio-tiempo en el tiempo de Page desde una superposición de geometrías dominada por agujeros negros a una dominada por agujeros de gusano. ¿Puede explicarse esta transición topológica en términos de alguna de nuestras teorías que aspiran a explicar la gravedad cuántica (teoría de cuerdas)?
- ¿Escapa la información del AN gracias a la existencia de agujeros de gusano cuánticos?
- ¿Cuál es la naturaleza de los efectos no locales implicados?
- ¿Es el Universo en su nivel fundamental no geométrico y no local? ¿Cómo emerge la geometría del espacio-tiempo a partir de los grados de libertad fundamentales?
Y la última pregunta: ¿Podrá la Física fundamental averiguar cual es la naturaleza última del espacio-tiempo de nuestro Universo?
Fuentes: The most famous paradox in Physics nears its end, Introduction to Entanglement Entropy, Entanglement wedge reconstruction and the information paradox, Towards a resolution of black holes information loss problem