Si hacemos una encuesta en la calle preguntando cual es la ecuación más importante de la física probablemente encontremos que las ecuaciones , o la ley de la gravitación universal figuran entre las más citadas por los encuestados. Algunos, con algún mayor conocimiento sobre física podrían contestar que la expresión más importante es la ecuación de Schrodinger o la fórmula de campo de la Relatividad General.
Sin duda, la celebre ecuación de Einstein de la equivalencia entre masa y energía es una de las más famosas debido al gran impacto mediático que ha conseguido, sin embargo, como la gran mayoría de fórmulas, su importancia reside solamente en su campo de aplicación. Por ejemplo, las ecuaciones de la relatividad son importantes para grandes
velocidades o grandes campos gravitatorios mientras que son despreciables cuando estos son pequeños. La mecánica cuántica es muy importante a escalas pequeñas mientras que es despreciable en sistemas macroscópicos.
Debido a esto, cuando queremos clasificar una serie de fórmulas físicas atendiendo a su importancia debemos fijar unos criterios generales que permitan realizar la clasificación en torno a ellos, en nuestro caso entendemos que los 2 siguientes criterios son suficientes para lograr nuestro objetivo:
1º) Qué fórmulas abarcan una mayor cantidad de fenómenos físicos, es decir, que fórmulas son utilizadas con más frecuencia en un mayor número de ramas distintas de la física.
2º) Qué fórmulas condensan en una mayor simplicidad una capacidad de explicación más grande, es decir, que expresiones contienen una mayor cantidad de información física en una menor longitud.
Entonces la pregunta clave es: ¿Cual es la fórmula más importante de la física conforme a los 2 criterios anteriores? Bien pues la respuesta es....
¿Pero que significa esto? ¿Por qué una expresión tan insultantemente sencilla puede ser considerada como la ecuación más importante de la física? Pues principalmente por 3 motivos:
1º) Aunque parezca increíble es posible derivar prácticamente toda la física a partir de esta simple expresión. La mecánica Newtoniana, la Óptica, la Relatividad General y la Física Cuántica pueden ser deducidas a partir de esta simple fórmula. Este hecho es de por sí absolutamente asombroso.
2º) Las ecuaciones de las distintas ramas de la física deducidas a partir de esta expresión son mucho más simples que las "convencionales": la Relatividad General queda reducida de 10 ecuaciones diferenciales no lineales a una sola ecuación y la Mecánica Cuántica y la tradicional Newtoniana también se simplifican notablemente.
3º) Esta expresión y las que se deducen de ella tienen una capacidad de explicación de los fenómenos físicos bastante mayor que las ecuaciones "convencionales" como veremos a continuación.
Pero, ¿Qué significa esta expresión? ¿Por qué contiene tanta capacidad explicativa?
Esta expresión simboliza el llamado principio de mínima acción. S es una magnitud física que se denomina acción. Antes de explicar que es la acción debemos definir que es el Lagrangiano. El Lagrangiano nos da información sobre la energía de un sistema y a partir de él podemos obtener las ecuaciones del movimiento del sistema. Para el caso de una partícula puntual en una sola dimensión con energía cinética Ec y sometida a
un potencial V el Lagrangiano L es simplemente la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial. Es decir: L=Ec-V. Por tanto tenemos que el Lagrangiano es simplemente: L= 1/2mv2-V. Pues bien, la acción es simplemente la integral del Lagrangiano respecto del tiempo. Por tanto, la fórmula más importante de la física lo que nos dice es que en todo sistema físico, la evolución del mismo siempre será de tal forma que tienda a anular la variación de la acción. A la física que utiliza este principio para deducir y calcular en distintas ramas de la física se la denomina Física Lagrangiana.
Para darnos cuenta del poder de este principio fundamental vamos a poner un ejemplo sencillo, consideremos el conocido efecto de la refracción de la luz al pasar del agua al aire:
Tenemos un estanque con agua, que tiene un índice de refracción N1. El índice de refracción del aire en el exterior es N2. La luz, para ir del punto A al punto B puede escoger entre infinitos caminos para conseguirlo.Para calcular cual es la trayectoria correcta del haz de luz podemos utilizar la óptica "convencional" que nos dice que N1 x ø = N2 x ø' donde ø es el ángulo de la luz incidente y ø' el ángulo del haz refractado. De esta forma podemos calcular la trayectoria de la luz ajustando el ángulo de incidencia.
Sin embargo, si usamos el poder del principio de la mínima acción, además de obtener todas las ecuaciones de la óptica "convencional" encontramos una explicación tremendamente sencilla de por qué la luz "elige" una determinada trayectoria entre las infinitas posibles: la luz utiliza siempre la trayectoria que minimiza la acción, es
decir, la trayectoria que consume el menor tiempo de viaje. En la figura superior, tenemos 4 posibles trayectorias que puede seguir la luz. Debido a que la luz viaja más despacio en el agua que en el aire la trayectoria que menos tiempo invertirá será aquella que minimice el tiempo de la luz en el agua de forma que el viaje se ralentice lo mínimo posible. En la trayectoria 4 la luz viaja más distancia en el agua que en el aire por lo que está claro que el tiempo será el mayor de las 4. En la trayectoria 1 la luz viaja en linea recta, por tanto la distancia en el agua y en el aire es la misma y el tiempo será algo menor que en 4. En la trayectoria 3 la luz recorre la mínima distancia en el agua (sube en linea recta) y luego viaja hacia B por el aire, mientras que en la 2 la luz recorre un poco más de distancia en el agua pero luego la menor distancia en el aire compensa y mejora el tiempo extra perdido en el agua. Por tanto la trayectoria correcta, la que realmente recorre la luz (y que todos hemos visto al introducir una cucharilla en un vaso de agua) es la número 2.
Similares esquemas simplificadores se pueden usar en mecánica, relatividad o física cuántica, demostrando así que el principio de mínima acción constituye una de las leyes más fundamentales del Universo y demostrando que la fórmula que define dicho principio es, por su sencillez y por su enorme alcance, la fórmula más importante de la física.