Toda la materia conocida está formada por partículas denominadas fermiones (electrones y quarks). A escala macroscópica nosotros vemos cuerpos sólidos bien definidos, sin embargo, a la escala natural en la que "viven" estas partículas el mundo es completamente diferente, hasta el punto que parece increíble que de ese mundo extraño y cambiante pueda surgir nuestro mundo cotidiano.
En este artículo nos centraremos en el fermión más famoso de todos: el electrón. El electrón nos mostrará sus grados internos de libertad en los que parece moverse a la velocidad de la luz, múltiples caras, extraños comportamientos "superpuestos", estados entrelazados y una especie de extraño giro que no tiene ninguna similitud con nada de lo que conocemos en nuestro mundo macroscópico. Además el electrón porta una información "oculta" adicional distinta de de las magnitudes físicas "usuales".
¡ Bienvenidos al extraño mundo de las partículas fundamentales !
Domando la velocidad de la luz: la masa del electrón
El fotón, que viaja a la velocidad de la luz, se mueve siempre en linea recta en una de las dimensiones espaciales. Desde este punto de vista podemos decir que el fotón "siente" solo una dimensión (1)
El fotón debe moverse en linea recta (flecha gris) a velocidad c que es la máxima velocidad permitida por lo que no puede tener ninguna componente de giro en la dirección de movimiento, si la tuviera, la velocidad total sería superior a c (lo que sucedería en la flecha roja del dibujo).
Consideremos las ecuaciones de dos ondas planas que se desplazan a la velocidad de la luz en direcciones opuestas, una hacia la derecha y otra hacia la izquierda:
El primer término representa la energía y el segundo el momento de la onda. Si pasamos el segundo término a la derecha las ecuaciones nos dicen que toda la energía de la onda se concentra en el momento debido al desplazamiento de la onda hacia la derecha (caso 1) o hacia la izquierda (caso 2). Si elevamos cualquiera de estas ecuaciones al cuadrado conseguimos unificar ambas ecuaciones en una:
El problema con la ecuación anterior es que ni es cuántica ni es relativista. El primer problema se soluciona simplemente sustituyendo las expresiones de E y p por los equivalentes operadores cuánticos: E=ihd/dt y p=-ihd/dx y el segundo aplicando la expresión relativista de la energía y el momento: E2=m2c4+c2p2. Al sustituir los dos operadores en esta última expresión obtenemos:
Aunque a primera vista no lo parezca esta última expresión supone un cambio de gran trascendencia. Anteriormente toda la energía de la onda estaba concentrada en el momento de la misma, ahora ha surgido un nuevo término que también posee energía: la masa de la partícula. ¡Hemos dotado a la onda de masa! Además, transformando nuestra onda clásica en una onda cuántica-relativista hemos conseguido algo asombroso, hemos acoplado las dos ondas que viajan en sentido contrario: esta última
ecuación posee dos soluciones que representan el movimiento de dos ondas que viajan a c en sentido contrario y que se comportan como si estuvieran "mezcladas" o mejor dicho superpuestas. La función de onda ya no es una onda "individual" es una "mezcla" de dos ondas. Pero, ¿que interpretación física debemos dar a la ecuación "superpuesta" anterior? Para hacernos una idea intuitiva (clásica) podemos considerar el siguiente sistema de muelles y masas acoplados:
En este sistema la bola se mueve hacia la derecha (o hacia la izquierda) como si fuera una onda, pero, debido a los muelles verticales la "onda" se va frenando, se para, e invierte su movimiento desplazándose en sentido contrario y repitiéndose el ciclo una y otra vez. Los muelles horizontales juegan el papel de acoplamiento entre las dos ondas y los verticales representan un nuevo grado de libertad: la masa. Acoplando ambas ondas ¡ el conjunto acoplado ha adquirido masa !
La masa representa un nuevo grado de libertad que no tienen las partículas sin masa que viajan a la velocidad de la luz. Ahora el sistema si puede girar en el sentido del desplazamiento: los dos componentes quirales se "reflejan" o "giran" transformándose el uno en el otro, ese continuo "reflejo" o "giro" entre los componentes quirales determina una dirección en el espacio-tiempo, esta dirección es el spin (2). De esta
forma, mediante la ecuación cuántica-relativista hemos conseguido "domar" la velocidad de la luz y dotar a la partícula de masa (3)
El continuo "reflejo" de las ondas acopladas
La ecuación "superpuesta" anterior (denominada ecuación de Klein-Gordon) tiene dos soluciones: ei(Et+px) y e-i(Et-px). Estas soluciones representan una fusión, o mejor dicho, una superposición de dos ondas que se mueven en el plano complejo: la parte real de una de ellas "se refleja" y se convierte en la parte imaginaria de la otra y viceversa. Este "reflejo" o "giro" continuo puede verse más claramente en el siguiente esquema (4):
Es ahora cuando empezamos a apreciar la intrincada relación entre el mundo Físico y el mundo de las Matemáticas: las dos ondas acopladas se mueven en un espacio matemático complejo. La aparición de los números complejos es otra forma de representar números "superpuestos", dos números complejos representan en realidad 4 números: 2 reales y 2 imaginarios. Hay otra forma de expresar esta fusión de 2 expresiones, y es utilizar, en lugar de solo 2 números una "caja" con 4 números. Esta "caja" con 4 números se denomina matriz de 2x2:
Esta expresión matemática es equivalente a nuestra 1ª ecuación "superpuesta". En esta se aprecia con mayor claridad la "mezcla" o "superposición" de los valores tanto en la función de onda como en la energía y en el momento de la onda. Para calcular la verdadera velocidad de la partícula (el electrón) debemos aplicar el operador velocidad
teniendo en cuenta que este actúa sobre la función de onda y los componentes quirales de la partícula. De esta forma obtenemos la velocidad del conjunto completo (la velocidad real del electrón):
El misterioso "giro" de las partículas que forman la materia
A continuación las cosas se ponen aún más extrañas e interesantes: vamos a girar nuestro electrón 180º. Esto se puede realizar en los experimentos ya que el spin es en realidad el momento magnético del electrón por lo que podemos modificar el momento aplicando un campo magnético externo. Vamos a ver lo que sucede:
1º) Giro de 180º
Si realizamos el giro invirtiendo el sentido de movimiento del electrón (girando 180º la dirección del spin) obtenemos que el sentido de giro del electrón se ha invertido y por tanto pasamos de un electrón con spin up a uno con spin down (o viceversa). Si a continuación realizamos experimentos de interferencia de estos electrones con electrones sin girar ¡ambos electrones no interactúan! Si en lugar de invertir el sentido de movimiento del electrón lo que hacemos es girar el electrón manteniendo inalterado su sentido de movimiento (su dirección de spin) ¡ obtenemos el mismo efecto !
Al girar el electrón 180º invertimos su sentido de giro y su movimiento y por tanto también su dirección de spin
2º Giro de 360º
Ahora nos topamos con el efecto más antiintuitivo y paradójico: si giramos el electrón 360º evidentemente esperaríamos obtener el electrón original, sin embargo, cuando lo hacemos y realizamos experimentos de interferencia con electrones sin girar lo que tenemos es que ¡ ambos electrones interfieren negativamente !
3º Giro de 720º
Si giramos nuestro electrón original 2 vueltas completas entonces ¡obtenemos nuestro electrón inicial! Es decir, es necesario un giro de 720º para restaurar las propiedades originales de nuestra partícula. ¡ El mundo del electrón es muy diferente al nuestro! Por si todo esto no fuera lo suficientemente "extraño" el electrón tiene la notable propiedad de detectar cualquier ángulo de giro en cualquiera de los ejes con respecto a su ángulo original (en este artículo nos hemos limitado por sencillez a solo 2 dimensiones pero los resultados son equivalentes en 4 dimensiones). Este ángulo se denomina la fase del spin del electrón. Esto nos enseña otra propiedad fascinante sobre el electrón y sobre los leptones en general, estos portan más información que un simple vector tridimensional (magnitud y dirección), portan también otra información adicional: el ángulo de fase del spin.
Conclusiones
La relatividad exige que todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento, deben medir las mismas magnitudes físicas fundamentales (invariantes relativistas). Para que esto sea posible la naturaleza ha de "desdoblar" el electrón
en dos componentes quirales y "crear" una especie de giro que produce un momento magnético intrínseco (el spin). Por otro lado la mecánica cuántica implica la existencia de una función de onda que contiene todos los posibles resultados de la medida
(spin up y spin down en el caso del spin). Al acoplar las dos componentes quirales se produce una interferencia entre ellas que suprime su propagación en el cono de luz. De esta forma la función de onda permanece localizada fuera del cono de luz (en el contexto del principio holográfico diriamos que permanece en el "bulk" que posee una dimensión adicional) moviéndose a velocidades menores que c. Desde el punto de vista cuántico, el electrón es en realidad una perturbación del campo cuántico electrónico, dicha perturbación es entonces una superposición cuántica de todos los valores posibles "oscilando" continuamente de forma que todos los observadores midan los mismos invariantes relativistas. Sin duda la naturaleza es absolutamente sorprendente.
Notas
(1) El fotón posee en realidad 2 grados de libertad que están compuestos por sus 2 diferentes polarizaciones. Estas polarizaciones son siempre ortogonales al sentido de movimiento por lo que nunca se excede la velocidad de la luz.
(2) El spin, junto con todas las demás propiedades del electrón tratadas en este artículo son características cuánticas sin análogo clásicos por lo que cualquier analogía clásica es solo una aproximación.
(3) En el proceso cuántico en el que se genera la masa del electrón interviene también el campo de Higgs el cual "mezcla" ambas componentes quirales.
(4) El electrón es una partícula fundamental que no puede descomponerse en componentes más elementales. El hecho de que el electrón "oscile" entre sus dos componentes quirales no significa que este constituido por elementos más fundamentales.
PD 31-05-2017: En respuesta a las preguntas de Jarenito en los comentarios he añadido una figura aclaratoria:
Las dos componentes quirales se "reflejan" o "giran" perpendicularmente a la dirección de movimiento que coincide con la dirección del spin global de la partícula (flecha gris).
Fuentes: The relativistic Dirac equation