Existen ejemplos bastante espectaculares como el llamado problema de Monty Hall que ponen de manifiesto que a la hora de interpretar correctamente muchas características del mundo que nos rodea nuestra intuición falla estrepitosamente. Por éste y otros muchos motivos necesitamos las matemáticas.
A continuación se expone otro caso que manifiesta de forma clara como nuestra intuición y nuestras explicaciones "a primera vista" fallan y pueden provocar que tomemos decisiones equivocadas ante problemas a priori fáciles de resolver:
Paseando un día por la calle se encuentra con un amigo al que hace tiempo que no ve. Con rostro muy preocupado le cuenta que acaba de recibir los resultados de una prueba de detección de cáncer que se realizó hace 2 semanas. En esos resultados se especifica que la prueba tiene una fiabilidad del 79%. Más detalladamente se explica que la prueba no falla en la detección del cáncer cuando éste se encuentra presente pero da un resultado positivo en un 21% de los casos en los que no se encuentra presente, lo que se conoce como "falso positivo" y en su caso las pruebas han dado positivo. Su amigo le cuenta que entonces, está claro que la probabilidad de que él tenga cáncer es del 79%.
Lo normal en un caso así sería limitarse a solidarizarse con él e intentar consolarle dándole esperanzas y deseos de que se encuentre en ese 21% de falsos positivos. Sin embargo, usted que es gran aficionado a las matemáticas de repente recuerda un artículo sobre estadística y de como se debe aplicar a la vida real. Concretamente recuerda como aplicar el llamado método de Bayes que nos muestra como calcular la probabilidad de un cierto suceso E cuando se conoce: a) la probabilidad de E en ausencia de toda evidencia, b) la evidencia de E, c) la fiabilidad de la evidencia. Entonces usted se da cuenta de que en este caso se puede aplicar este método y decide hacer un cálculo rápido recordando también el dato de que la incidencia del cáncer entre la población general es del 1%. Con estos datos y conociendo el método de Bayes usted razona de la siguiente forma: en una población de por ejemplo 10000 personas, de media, 100 tendrán cáncer y 9900 no lo tendrán. En ausencia de toda evidencia (o sea en ausencia de la prueba médica) la probabilidad de que tu amigo tenga cáncer es del 1%. A continuación él se somete a la prueba y da positivo. ¿Como afecta esto a la probabilidad del 1% que tenía ANTES de hacerse la prueba?
En primer lugar existen 100 personas que tienen el cáncer y para todas ellas la prueba daría correctamente un resultado positivo. Considerando ahora las 9900 personas libres de cáncer, la prueba daría un falso positivo para el 21% de ellas o sea a 9900 X 0,21= 2079 personas. Por tanto, en total la prueba identifica un total de 100+2079=2179 personas como si padecieran el cáncer. Como tu amigo ha dado positivo él se encuentra en este grupo de 2179 personas. De estas 2179 personas 100 tienen realmente el cáncer, por lo tanto la probabilidad real de que tu amigo tenga cáncer es 100/2179=0,046 ¡ Tu amigo tiene solo un 4,6% de posibilidades de tener el cáncer ¡ Esta probabilidad no tiene nada que ver con la aterradora probabilidad de casi el 80%. Imagine la cara de su amigo cuando le explica el procedimiento correcto para hallar la verdadera probabilidad. De verdad que para él ha sido una suerte y un enorme alivio encontrarse en ese momento con un amigo que sabe matemáticas.
Fuentes: El lenguaje de las matemáticas, 2002 Keith Devlin