El electromagnetismo es la base de toda la tecnología que existe en nuestra civilización. Todo el mundo sabe que las cargas eléctricas opuestas se atraen y que las cargas iguales se repelen. Lo mismo pasa con los polos de un imán. Pero, ¿Porqué esto
es así? ¿Cual es el verdadero origen de esta fuerza? La respuesta no es fácil ni trivial, en este artículo se intentará ofrecer la visión más moderna que la Física actual puede ofrecer sobre la fuerza electromagnética utilizando solo matemáticas muy sencillas.
El origen de la fuerza electromagnética: la simetría
Dentro de la Física clásica, un sistema compuesto por una partícula de masa m dentro de un potencial V en el cual no se disipa energía (es decir la energía total se mantiene constante) tiene una energía total que es la suma de la energía cinética más la energía potencial: E= Ec+Ep. Es decir, E(x.p)= p2(t)/2m + V(t,x). La energía total E(x,p) se denomina el Hamiltoniano del sistema. En mecánica cuántica (MC), una partícula está descrita por una función compleja denominada función de onda ø(t.x).
La información física se extrae de la función de onda actuando sobre ella con operadores. Para transformar nuestro Hamiltoniano clásico en una ecuación compatible con la MC solamente tenemos que sustituir las variables p y E por los operadores cuánticos p=h/i*(d/d(x,y,z)) (donde d/d(x,y,z) es la derivada parcial respecto a las 3 coordenadas espaciales, es decir el gradiente (grad)) y el operador E= ih*d/dt. Sustituyendo las variables por los operadores en la ecuación del Hamiltoniano clásico obtenemos: ih*d/dt(ø(t.x))= -h2/2m(grad)2ø(t.x)+V(t,x)ø(t.x). Esta ecuación es la famosa ecuación de Schrödinger que describe a una partícula cuántica no relativista de masa m.
Puede comprobarse fácilmente que una solución a la ecuación de Schrödinger es la ecuación correspondiente a una onda plana:
ø(t.x)=ei(kx-wt) donde el momento de la onda es p=hk y la energía es E=hw.
Según los postulados de la MC la probabilidad de encontrar a la partícula en un punto y en un momento concreto es proporcional al cuadrado del módulo de ø(t.x) es decir, proporcional a |ø(t.x)|2. Es aquí donde las cosas se ponen interesantes y donde aparece el concepto fundamental: la simetría.
Antes de seguir, recordemos la relación eiø= cosø+isenø que representa una función compleja con módulo 1 y ángulo (fase) ø, es
decir, representa un círculo de radio 1 en el plano complejo:
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Por tanto, tenemos que si la probabilidad de encontrar a una partícula (la posición de la misma que es lo que realmente se puede medir físicamente en los experimentos) es proporcional al cuadrado del módulo de la función de onda ø(t.x) entonces cualquier partícula cuya función de onda sea eiøø(t.x) será totalmente equivalente a ø(t.x) ya que el cuadrado del módulo de eiø siempre es 1. Multiplicar la función de onda ø(t.x) por el factor eiø equivale a desplazar la fase de la función de onda un ángulo ø: ø(t.x)eiø=ei(kx-wt)eiø=ei(kx-wt+ø)
Esto quiere decir que todas las partículas con cualquier ángulo de fase en su función de onda son físicamente equivalentes, es decir, las partículas son invariantes bajo cualquier cambio en el ángulo de su fase. Esta simetría se denomina simetría U(1) que representada gráficamente en el plano complejo significa la equivalencia de fase de todos los puntos de un círculo de radio 1.
Por tanto, según los postulados de la MC si yo cojo 2 partículas cualesquiera A y B y cambio la fase de ambas un ángulo ø entonces cuando mida la posición de ambas no encontraré ninguna diferencia puesto que la densidad de probabilidad es la misma antes y después del cambio. Sin embargo, en este punto nos encontramos con un problema grave, si cambiamos la fase de la partícula un ángulo cualquiera µ(t,x) entonces, sustituyendo en la ecuación de Schrödinger tenemos:
ih*d/dt(øeiµ)= -h2/2m(grad)2(øeiµ)+Vø (donde hemos obviado por razones de simplicidad la dependencia (t,x)) Hemos multiplicado ø por eiµ para desplazar la fase de la función de onda un ángulo µ. El problema es que claramentela derivada de øeiµ no es igual a eiµd/dx(ø) ya que tenemos términos adicionales al derivar el producto de las exponenciales: d/dx(øeiµ)= d/dx(ø)eiµ + ød/dx(eiµ.) El último término ød/dx(eiµ) que aparece al derivar es un término adicional, por tanto,si cambiamos la fase un ángulo µ(t,x) entonces tenemos que la ecuación de Schrödinger cambia también, lo que implica cambios en el momento y la energía de la partícula. Pero ¿como es esto posible? Por un lado los postulados de la MC nos dicen que las partículas deben ser físicamente invariantes al cambiar la fase pero por otro la ecuación de Schrödinger nos dice lo contrario. ¿Que estamos haciendo mal?
Llegados a este punto, podemos hacernos una pregunta: dado que cambiar la fase de la partícula introduce nuevos términos en la ecuación de Schrödinger que modifican el momento y la energía de la misma, ¿Podemos introducir algún campo o función que cancele estos nuevos términos de forma que al cambiar la fase no cambie la energía y el momento de la partícula? La respuesta es SI.
Si tomamos una nueva función A(x) tal que se cumpla que dA(x)/dx= A(x)-d/dx(µ(t,x)) y la incluimos en la ecuación de Schrödinger de esta forma: ih(d/dt+iA)ø(t.x)=-h2/2m(grad+iA)2ø(t.x) entonces ¡la ecuación es invariante bajo el cambio ø(t.x)eiø(t,x)! Por tanto, aunque parezca increíble, el nuevo elemento A(x), cancela las variaciones derivadas del cambio de fase, tal y como exigen los postulados de la MC. Por si no lo han adivinado, este "misterioso" nuevo término es un potencial (solo depende de la posición) y por supuesto es ¡ el potencial electromagnético !
Así, la fuerza electromagnética ¡existe para preservar la simetría U(1) tal y como exigen las leyes fundamentales de la Física!
La invarianza de fase de la mecánica cuántica nos dice que ambas partículas, aunque posean distinta fase en un instante determinado (la fase de la partícula cambia continuamente como un reloj) son físicamente equivalentes (el cuadrado del módulo de la función de onda o sea la probabilidad de detectar a la partícula es idéntico), sin embargo, estas diferencias de fase introducen cambios en la ecuación de Schrödinger. Para evitar esto y preservar la simetría de invarianza de fase, localmente, tiene que aparecer una "nueva fuerza" compensatoria. Esta "nueva fuerza" no es otra que la Fuerza Electromagnética..
Esto explica el PORQUÉ pero no el COMO de la fuerza electromagnética. En el siguiente apartado veremos algo de este otro aspecto.
¿Porque 2 cargas opuestas se atraen y 2 cargas iguales se repelen?
Como hemos visto, el potencial electromagnético A(x) "compensa" los cambios de E y p introducidos en la partícula al cambiar su fase. Esta "compensación" puede hacerse en un sentido (momento positivo) o en sentido contrario (momento negativo). La clave aquí es que mientras que por ejemplo el electrón (carga -) gira en un sentido, el positrón (carga +) gira en sentido contrario, esto implica que la fase de ambos se desplaza en sentido contrario en el círculo unitario del plano complejo, lo que produce que la compensación en el caso de 2 cargas + tenga un momento positivo (fuerza repulsiva) mientras que en el caso de una + y una - tiene un momento negativo (fuerza atractiva).
Las partículas de quiralidad izquierda como el electrón la fase se desplaza en un sentido (linea azul) mientras que las de quiralidad derecha como el positrón giran en sentido contrario (linea roja) esto explica la fuerza de atracción y de repulsión
En su nivel más fundamental, la fuerza electrostática es un intercambio de momento y energía entre campos cuánticos que residen en el vacío. Los electrones son vibraciones del campo electrónico e intercambian momento a través del campo electromagnético cuya vibración es el fotón. El campo electromagnético no es "creado" por las cargas eléctricas, éste existe en todos los puntos del espacio vacío, las cargas eléctricas perturban dicho campo y es esa perturbación la que se transmite en forma de fotones, produciendo la fuerza electromagnética y haciendo posible el funcionamiento de todos los dispositivos eléctricos y electrónicos que existen.