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EL ENIGMÁTICO MUNDO DE LOS NÚMEROS

Actualizado: 15 de dic de 2019

Como vimos en la anterior entrada "El secreto mejor guardado de las matemáticas: el infinito vale -1/12" podemos asignar un valor finito a algunas sumas infinitas divergentes. Además, este valor, en el caso de la suma de los infinitos números naturales, ha sido verificado experimentalmente en varios experimentos relacionados con la energía del punto cero. Este caso es un ejemplo impresionante de la sutil relación entre Física y Matemáticas.


Podemos preguntarnos que significa realmente el hecho de poder asignar un valor finito a una suma infinita divergente. Como vimos, el significado habitual de suma, en el caso de sumas infinitas ha sido modificado por el de la suma de los límites de las sumas parciales. Sin embargo, si la serie es divergente estos límites crecen sin parar ¿como es posible entonces asignar un valor finito a estas sumas?. En este artículo trataremos de dar un sentido más intuitivo, si es que esto es posible, a estos valores considerando la suma infinita de las potencias de 2. Considerar la siguiente suma infinita E=1+2+4+8+16... es decir, la suma de las potencias de 2. ¿Se puede asignar un valor finito a esta suma? Para verlo, alargamos la suma en ambas direcciones: S=...+1/16+1/8+1/4+1/2+1+2+4+8+16...

A continuación multiplicamos la suma "extendida" S por 2: 2S=...+2/16+2/8+2/4+2/2+2X1+2X2+2X4+2X8+... por tanto 2S=...+1/8+1/4+1/2+1+2+4+8+16... es decir ¡2S=S! Por tanto S tiene que ser igual a 0. Si nos fijamos, la diferencia entre E y S es la suma Z=1/2+1/4+1/8+1/16+... que es la suma de la famosa paradoja de Zenon: si tengo una tarta y la parto por 2 tengo 1/2, si vuelvo a partir el trozo por 2 tengo 1/4 y si hago esto sucesivamente al final tengo una tarta entera así que Z=1. Por tanto tenemos que E=S-Z=0-1=-1 Por tanto ¡E tiene que ser igual a -1! Pero, ¿como diablos puede ser igual a -1 una suma que aumenta sin parar hasta el infinito?


Para tratar de dar un significado algo más intuitivo a este resultado, aparentemente sin sentido, consideremos la siguiente pregunta: Si yo cojo una calculadora y empiezo a sumar 1+2+4+8+... hasta el infinito (suponiendo una calculadora de infinita memoria y que disponemos de un tiempo infinito) cuando pulse el signo = ¿aparecerá el valor -1 en la pantalla?


Evidentemente en la pantalla de nuestra calculadora no aparecerá el valor -1, sin embargo, esto es porque nuestra calculadora digital "traduce" el resultado del cálculo realizado en binario a base 10 para que podamos entenderlo. Sin embargo, si la pantalla reflejase el resultado en binario, después de introducir nuestra suma infinita el resultado sería el siguiente: 11111111...., es decir, la calculadora mostraría una fila infinita de 1 (cada vez que sumamos una potencia de 2 en binario añadimos un uno a la izquierda). Si a continuación, en el teclado, sumamos una unidad, entonces nuestra infinita serie de 1 se transforma en: ¡ Una infinita serie de 0 ! Por tanto, nuestra suma infinita se transforma en 0 cuando le sumamos una unidad, luego nuestra suma infinita ¡tiene que valer - 1!


Todo esto es tan extraño a nuestro sentido común que parece una especie de truco de magia, para tratar de paliar esta sensación de que esto solo es un truco matemático sin nada más "de fondo" vamos a analizar esta serie modificando la definición habitual de tamaño o valor absoluto de un número. Modificando la forma de medir el "tamaño" de los números Estamos acostumbrados a visualizar los números como si estuvieran colocados en una regla graduada de forma que el 0 está al principio, después aparece el 1, luego el 2 y así sucesivamente, de forma que un número es mayor cuanto más a la derecha del 0 se encuentre. Sin embargo, existen otras formas de medir el tamaño de un número. Matemáticamente, el valor absoluto, es una función que asigna a cada número racional un número real de forma que se cumplan 3 condiciones:

- Todo número tiene un valor absoluto positivo excepto el 0 que tiene valor absoluto 0

- El valor absoluto de la suma de dos números es menor o igual que la suma de sus valores absolutos

- Al multiplicar un número a por otro b , su valor absoluto se incrementa b veces: |a b|= |a| |b| Pues bien, podemos establecer una definición de valor absoluto basada en la mayor o menor "divisibilidad" de un número entre un número primo cualquiera. Sabemos que cualquier número racional se puede expresar de forma única como un producto de factores primos. Así podemos definir que el número 8 es "más divisible" por el número primo 2 que el 4 y asignaremos un valor absoluto diferente al 8 que al 4. Para ser exactos, vamos a definir el valor absoluto de un número a para el número primo p como:|a|p=1/pm donde m es el exponente de p en la descomposición de a como producto de factores primos. Es decir el valor absoluto de a para el primo p será inversamente proporcional a m potencia de p de su descomposición como producto de factores primos. Así en el ejemplo anterior, para el primo 2 el valor absoluto de 8 será 1/8 (8=23) y el de 4 será 1/4 (4=22). Se puede demostrar fácilmente que esta forma de medir el tamaño de los números cumple con las 3 condiciones anteriores. Consideremos ahora nuestra serie infinita E=1+2+4+8+16+...+ 2n, utilizando la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica tenemos: E=1+2+4+8+16+...2n = 2n+1 -1, por tanto E= 2n+1-1. Si a continuación calculamos el valor absoluto de esta serie con nuestra nueva definición tenemos: |E|2= 1/2(n+1)-1, puesto que el término 1/2(n+1) tiende a 0 cuando n tiende a infinito llegamos entonces a la conclusión de que |E|2= -1.


Realmente parece difícil escapar de este resultado, si en algún sentido es posible asignar un número finito a una serie infinita divergente, en el caso de la suma de las potencias de 2 este número es -1. Utilizando la nueva definición de valor absoluto que hemos definido, podemos constituir un nuevo conjunto de números. Este nuevo conjunto se denomina el conjunto de los números P-ádicos y sus propiedades han sido analizadas desde hace tiempo por los matemáticos. Estos números se utilizan como herramienta fundamental en la disciplina que estudia los elementos que constituyen el "corazón" de las matemáticas: los propios números. Esta disciplina se denomina "teoría de números" y sirve como vínculo entre la Geometría, la Aritmética y la Topología, estas ramas de la matemática tienen importantísimas aplicaciones en Física. De nuevo, la sutil relación entre Física y Matemáticas aparece en todo su esplendor: los números P-ádicos, con su nueva regla para medir el "tamaño" de los números pueden tener importantes aplicaciones cuando tratamos con una conocida "frontera" de la Física: la conocida como escala de Planck. Algunas teorías Físicas estudian como la estructura última del espacio-tiempo, a estas escalas "infinitamente" pequeñas, podría describirse en términos de números P-ádicos en lugar de describirse a través de los usuales números reales.


Fuentes:

¿Que son los números P-Adicos?,Taming Infinity: The sum of all powers of two,

¿Como que 1+2+4+8+...=-1?

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