Continuando con el artículo anterior en esta segunda parte seguimos mostrando las pruebas parciales que apuntan a la validez del marco teórico de la teoría de cuerdas incluyendo algunos cálculos ¡comprobables experimentalmente!
3º) DUALIDADES
Las dualidades constituyen uno de los avances más importantes en Física teórica de los últimos años y nos muestran un aspecto increíble del Universo que habitamos: dos sistemas sistemas cuánticos totalmente diferentes en apariencia pueden ser en realidad completamente equivalentes en el sentido en que describen la misma Física. Estos sistemas equivalentes se denominan modelos duales y en principio, no existe ningún experimento Físico que pueda distinguir entre uno u otro ya que representan los mismos observables. Existen dualidades fuera del marco de la teoría de cuerdas, sin embargo, el hecho de que las dualidades más importantes y con mayor capacidad de explicación funcionen solamente en el marco teórico de la teoría de cuerdas es otra (semi)prueba que apunta a su validez. El poder fundamental de las dualidades es que nos permiten explorar de forma EXACTA (no aproximada) ciertas características de la gravedad cuántica que hasta ahora era imposible explorar. Esto es así por que, a menudo, mientras que los cálculos en un modelo son complicadísimos en el modelo dual son mucho más sencillos. A continuación describiremos brevemente las principales dualidades que involucran, de manera imprescindible, a la teoría de cuerdas:
Dualidad T
Consideremos un campo cuántico dentro de una caja de tamaño L. Dentro de la caja solo puede haber ondas cuya longitud de onda sea un múltiplo de L es decir de longitud nL. Consideremos ahora que, tal y como predice la teoría de cuerdas existen una o más dimensiones (la teoría de supercuerdas predice 6 dimensiones adicionales) muy pequeñas enrolladas en un círculo de radio R. Entonces, dentro de la caja solo caben ondas (o sea "vibraciones") cuya longitud sea múltiplo de R es decir nR o lo que es lo mismo de frecuencia n/R. La energía del campo dentro de la caja será:
E2=p2+(n2/R2)+M2 donde p es el momento y M es la masa en reposo del campo. ¿Que sucedería si empezamos a contraer las paredes de la caja más y más de modo que L tienda a 0? Llegará un momento en el que el tamaño de la caja será menor que el radio R y por tanto L=R. Entonces si hacemos R tendiendo a 0 la energía diverge, tiende a
infinito. Si nos fijamos en la fórmula anterior los únicos modos con energía finita serían aquellos en los que n=0, es decir, ¡ aquellos que no dependen de las dimensiones extra pequeñas de tamaño R !. Estos modos son los únicos que pueden tener un momento 0 y por tanto un estado de vacío. Esto quiere decir que cuando R tiende a 0 los campos no sienten las dimensiones extra pequeñas y solo residen en las dimensiones grandes. Ahora viene lo interesante: para una cuerda cerrada la energía es: E2=p2+(n2/R2)+M2+(w2R2/µ2 ) donde M es la masa en reposo de la cuerda y µ es un parámetro relacionado
con la tensión de la misma. Si comparamos esta expresión con la anterior veremos que ha aparecido al final un nuevo término.
Este nuevo término representa una nueva posibilidad que contribuye a la energía: las cuerdas cerradas pueden enrollarse alrededor de las nuevas dimensiones pequeñas, de hecho, w representa el número de vueltas de la cuerda cerrada alrededor de R. Lo increíble es que la contribución del nuevo término es simétrica pero inversa a la contribución del término (n2/R2) que producía los infinitos. Si ahora sustituimos en la última expresión R por µ/R e intercambiamos los roles de n y w obtenemos que ¡La Energía no cambia! de hecho el espectro de R y µ/R es totalmente equivalente ya que produce los mismos observables. ¡ Para una cuerda cerrada R y 1/R es totalmente equivalente ! Esto nos indica algo muy sorprendente: para R tendiendo a 0 el espacio-tiempo que "sienten" las cuerdas cerradas es diferente del espacio-tiempo original y además, ¡es imposible reducir el tamaño del espacio-tiempo por debajo de R=√µ! . Para este valor de R los dos modelos duales coinciden y si intentamos reducir más R obtenemos su valor dual 1/R. Si intentamos reducir una cuerda cerrada por debajo de ese valor lo que obtenemos es ¡2 cuerdas cerradas!. Una cuerda abierta no tiene valor w y su energía es E2=p2+(n2/R2)+M2+N/4µ. Como en el caso de una partícula puntual y al contrario que una cuerda cerrada una cuerda abierta no siente las dimensiones pequeñas. ¿Como es esto posible? La paradoja se resuelve de nuevo cuando tenemos en cuenta las branas, las cuerdas abiertas están unidas a branas que "rellenan" las otras dimensiones. Todo esto nos deja una cuestión fundamental: ¿Es el espacio-tiempo fundamental o éste emerge como consecuencia de la dinámica de las cuerdas y las branas?
Dualidad S
Dentro del marco de la teoría de cuerdas existen varios modelos (en el apartado dedicado a la teoría M se explicarán estos distintos modelos). Los más prometedores con diferencia son los modelos basados en supercuerdas. Estos modelos están basados en cuerdas que incorporan una simetría especial: la supersimetría (en el apartado supersimetría se explicará más sobre esto). Resulta que en ciertos modelos supersimétricos se observa una interesante dualidad. La magnitud de la interacción entre cuerdas está descrita por el parámetro g. La dualidad S nos indica que si intercambiamos g por 1/g en los modelos duales ¡La Física no cambia! ¡ En estos modelos las interacciones a altas energías son equivalentes a las de bajas energías!
Dualidad AdS/CFT
La dualidad AdS/CFT es probablemente la dualidad más importante debido a la gran cantidad de trabajos teóricos que ha producido. Esta dualidad relaciona cuerdas y QFT por lo que es uno de los indicadores más fuertes de que ambas teorías están relacionadas.
Un espacio AdS (anti-de Sitter) es un espacio con curvatura negativa y por tanto con gravedad. La CFT es una teoría QFT que incorpora una simetría especial que hace que la teoría sea invariante ante el cambio de escalas. Pues bien la dualidad AdS/CFT nos
dice algo increíble: un espacio AdS es equivalente (dual) a una teoría CFT con una dimensión menos. Esto quiere decir nada más y nada menos que podemos describir la gravedad (que "vive" en el espacio AdS) y una dimensión del espacio-tiempo adicional
¡utilizando nuestras teorías cuánticas habituales! Esto nos ha permitido deducir ciertas características de la gravedad cuántica y de los agujeros negros ya que un agujero negro se puede considerar aproximadamente un espacio AdS. Para ver como dos marcos teóricos tan diferentes pueden dar lugar a la misma Física fijémonos por ejemplo en la dualidad AdS5 x CFT4. Una teoría CFT en 4 dimensiones está descrita por 15 operadores: 6 para la simetría Lorentz, 4 para las traslaciones en el espacio-tiempo, 4 para generar las traslaciones conformes y 1 para generar las transformaciones de escala. Si analizamos un espacio AdS en 5 dimensiones encontramos algo increíble:
¡ este espacio esta descrito por los mismos 15 operadores anteriores que además satisfacen el mismo álgebra de Lee !
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4º) TERMODINÁMICA Y ENTROPÍA DE LOS AGUJEROS NEGROS
En este apartado vamos a hacer un cálculo bastante sencillo pero vamos a conseguir algo impresionante: un cálculo de la teoría de cuerdas que representa un valor Físico real. Los físicos Stephen Hawking y Jacob Bekenstein, que ya sabían que los agujeros negros debían tener temperatura y por tanto radiar energía deducieron una fórmula para el valor de la entropía de un agujero negro: S=4ΠGM2k. Como sabemos la entropía es solo una forma de contar el número de estados (microestados) de un sistema de forma que si tenemos un sistema aislado con un número de (micro)estados internos Ø(E) a una temperatura constante T entonces S(E)=k ln Ø(E) donde k es la constante de Boltzmann. Por otro lado, si conocemos los estados cuánticos internos del sistema y su energía E podemos definir otra cantidad denominada función partición (Z) que viene dada por:
Ahora hagámonos una pregunta: ¿Podemos contar el número de estados internos de una cuerda? Si los contáramos podríamos calcular, de forma general la entropía intrínseca asociada a una cuerda. Vamos a hacerlo: consideremos ahora una cuerda fijada por ambos extremos. Esta cuerda, al igual que una cuerda de guitarra, posee un conjunto infinito de vibraciones que son múltiplos de una frecuencia natural Wo: Wo,2Wo,3Wo... De forma similar, una cuerda cuántica se describe como un oscilador armónico cuyos estados de energía se definen por operadores a1a1*,a2a2*... que actúan sobre el estado de vacío Wo, es decir:
Como la cuerda cuántica es la suma de todos los osciladores tenemos:
A continuación listamos los estados de la cuerda para los primeros 4 valores de N:
El valor p(N) nos da el número de estados internos de la cuerda. Claramente el número p(N) sigue una pauta que coincide con un concepto matemático que se llama número de particiones. Por eso a p(N) se le denomina la función partición. Como p(N) es el número de estados internos de la cuerda la entropía de la misma será simplemente: S(E)=k*ln p(N)=k p(E/hWo) Como p(N) es igual al número de particiones esta función coincide con la función Z termodinámica. Entonces tenemos:
Por tanto:
Como la suma para cada nl es una serie geométrica tenemos:
La energía asociada E es: E=-dif(lnZ)/difB . Para calcular lnZ consideramos que la temperatura T es muy grande y por
tanto hWo/KT<<1 por tanto lnZ se puede aproximar a la integral:
Que nos da simplemente KTPI2/hWo6. Por tanto: E=-dif(lnZ)/difB=PI2(KT)2/6hWo. Combinando las dos expresiones anteriores podemos obtener finalmente la expresión de la entropía en función de la energía S(E):
Por tanto:
Ahora solo nos queda considerar un pequeño "detalle". Como estamos trabajando en 26 dimensiones de espacio-tiempo cada oscilador tiene 26 grados de libertad. Al cuantizar en teoría de cuerdas 2 de las cuatro dimensiones grandes no
intervienen en la dinámica por lo que nos quedan 24 grados de libertad. Lo que tenemos que hacer es simplemente multiplicar por b=24 en nuestra fórmula anterior y obtener el número de particiones para N=24:
Sabiendo que:
Entonces tenemos por fin que S(E)=k ln p24(N) o sea:
Igualando E=M ya que la cuerda está en reposo y considerando que α´=G2M2 al considerar interacciones entre cuerdas entonces tenemos que ¡LOS GRADOS DE LIBERTAD DE LA CUERDA EN D=26 COINCIDEN CON LA ENTROPÍA DE LOS AGUJEROS NEGROS! ¿No es este otro indicio espectacular de su validez?
5º) ELIMINACIÓN DE INFINITOS EN INTERACCIONES EN GRAVEDAD CUÁNTICA
Las interacciones entre partículas puntuales se describen mediante los llamados diagramas de Feynman. Si queremos cuantizar la gravedad debemos introducir en estos diagramas la partícula de la gravedad: el gravitón. En los diagramas
de Feynman hay que considerar todas las posibilidades o "caminos" posibles de una interacción dada. Esto se consigue realizando una integral de camino sobre toda la trayectoria del diagrama:
Diagramas de Feynman: en la segunda figura las partículas x1 y x2 se rebombinan y se vuelven a separar. En los vértices y1,y2,y3,y4 la integral tiende a infinito.
El problema surge en los vértices del diagrama, en estos surgen "discontinuidades" o uniones abruptas que producen infinitos. Sin tener en cuenta la gravedad la mayoría de estos infinitos son renormalizables, es decir, se pueden evitar mediante técnicas matemáticas de control de divergencias. Sin embargo al considerar el gravitón estos infinitos no se pueden evitar lo que supone un problema insalvable. Sin embargo, si en vez de partículas puntuales consideramos cuerdas los diagramas de Feynman anteriores tienen el siguiente aspecto:
Lo que antes eran vértices discontinuos ahora son uniones suaves entre "tubos" lo que produce que todas las integrales tengan un valor finito. Además, las superficies de estos "tubos" siempre son superficies de Riemann lo que nos asegura que siempre serán integrables. ¡Esto soluciona el mayor problema que existe a la hora de cuantizar la gravedad!
6º) PRUEBAS DE CONSISTENCIA MATEMÁTICA
Los Físicos y los Matemáticos han llegado a conocer con bastante exactitud ciertas características generales que tiene que cumplir cualquier teoría que aspire a convertirse en una teoría cuántica de la gravedad. Esto permite descartar todos los modelos teóricos que no cumplen estas características. Con el tiempo, estos requisitos se han ido ampliando restringiendo de manera notable el abanico de posibles candidatos. Además, las Matemáticas nos dicen que en ciertas condiciones y en ciertos espacio-tiempos como el espacio ADS ¡ Toda teoría cuántica de la gravedad que cumpla con la causalidad, la invarianza Lorentz y otros requisitos debe incorporar objetos extendidos (cuerdas) ! A continuación se enumeran algunos de estos trabajos teóricos:
- Para la consistencia en (super)gravedad cuántica es imprescindible la existencia de dimensiones extra y objetos extendidos (cuerdas y branas): "Two roads from N=8 SUGRA to String Theory (2008)"
- Toda teoría de gravedad cuántica que reproduzca la relatividad general a grandes escalas debe introducir cuerdas:
- En cualquier espacio-tiempo y en cualquier número de dimensiones solo las teorías con ciertas propiedades "cuerdísticas" conservan la causalidad: Maldacena+Zhiboedov+et.al.(2014)
- En espacios ADS toda teoría cuántica de la gravedad tiene que estar basada en la teoría de cuerdas: Maloney et.al (2014)
Si se consiguiesen extender estas restricciones y generalizaciones a nuestro espacio dS (de-Sitter) tendríamos una prueba matemática de enorme importancia: si existe una teoría cuántica de la gravedad esta tiene que ser la teoría de cuerdas. Existen numerosos trabajos Matemáticos de este tipo que parecen indicar claramente que la única forma de describir la gravedad cuántica es a través de cuerdas.
Fuentes: A first course in String Theory, Barton Zwiebach, Dualities of Fields and Strings