El cerebro humano es el órgano más complejo que se conoce y es el producto de la acción de la evolución a lo largo de millones de años. El cerebro, por su funcionamiento interno, necesita siempre asignar una causa concreta a una acción determinada, sin embargo, suele fallar cuando no existe una causa determinada, es decir, falla cuando el azar es el protagonista. El problema es que el azar es una parte fundamental de la naturaleza y está presente en todas partes y en todas las facetas de nuestra vida: economía, deportes, trabajo, política, etc. Esto produce que en una gran cantidad de situaciones cometamos flagrantes errores: médicos que sobreestiman (o subestiman) enormemente las posibilidades reales de tener graves enfermedades, políticos que sobreestiman las posibilidades de éxito de sus medidas, empresas que sobreestiman la verdadera capacidad de generar riqueza de sus directivos, guiones de películas o novelas potencialmente millonarias que son rechazadas por los editores, inocentes que pasan años en la cárcel por que abogados, jueces y jurado no interpretaron correctamente las estadísticas y subestimaron las posibilidades de que un violador vuelva a actuar...
Para ayudarnos a evitar estos errores y poder medir y predecir la verdadera magnitud de la aleatoriedad necesitamos una vez más a la "herramienta" más poderosa de la ciencia: las matemáticas.
A continuación se exponen una serie de preguntas muy sencillas que ponen de manifiesto la incapacidad de la mente humana para tratar con lo aleatorio y explican por qué es tan importante entender como actúa la incertidumbre para tomar decisiones acertadas en cualquier ámbito de nuestras vidas:
1º) Hijos e hijas
Juan tiene 2 hijos, uno de ellos es una niña. ¿Cual es la probabilidad de que el otro hijo sea también una niña? ¿Y si la niña de Juan se llama Tomasa, cual es la probabilidad de que el otro hijo sea también una niña? Intente dar una respuesta a ambas preguntas antes de leer la respuesta.
Respuesta:
Cuando nos disponemos a analizar las probabilidades de que un determinado suceso ocurra o no ocurra la información que disponemos sobre el mismo es clave, cualquier aumento o restricción de la información disponible por mínima que sea puede cambiar las probabilidades. En este caso podemos razonar: puesto que sabemos que 1 de los 2 hijos es una niña solo quedan 2 posibilidades: que el 2º hijo sea una niña o que sea un niño pero esto es incorrecto. El enunciado nos dice que uno de los 2 hijos es una niña pero no nos dice cual, por tanto, hay que considerar todas las combinaciones posibles de dos elementos: (niño,niño), (niño,niña), (niña,niño), (niña,niña), como nos dicen que uno de los 2 es una niña tenemos que eliminar solamente la posibilidad (niño,niño) y por tanto nos quedan 3 posibilidades, por ello la probabilidad de que el otro hijo sea también una niña es solo de 1/3 o del 33%. Hasta aquí solo ha habido un leve choque con nuestra intuición, sin embargo, en la siguiente pregunta el choque es demoledor: ¿Qué tiene que ver para nuestro cálculo de probabilidades que la hija se llame Tomasa, que viva en Gijón, que sea zurda o que tenga los ojos azules? La respuesta es increíble: MUCHO, esta información adicional puede cambiar radicalmente el resultado final, analicemos ahora el abanico de probabilidades: Consideremos T= la chica se llama Tomasa y NT= la chica no se llama Tomasa, el rango de posibilidades totales es: (niño,niño), (niño, niñaT), (niño,niñaNT), (niñaT,niño), (niñaNT,niño), (niñaT, niñaT), (niñaT, niñaNT), (niñaNT,niñaT), (niñaNT,niñaNT). Como vemos las posibilidades han cambiado mucho, antes teníamos 4 posibles resultados totales y ahora tenemos 9. Como nos dicen que uno de los hijos es una niña y que se llama Tomasa entonces nos quedan como posibles resultados: (niño, niñaT), (niñaT,niño), (niñaT, niñaT), (niñaT, niñaNT), (niñaNT,niñaT). En España, en la actualidad, Tomasa es un nombre de niña poco común así que podemos estimar por ejemplo (el dato exacto no es importante) que solo 1 de cada 100.000 padres deciden poner ese nombre a su hija. Debido a esto el resultado (niñaT, niñaT) es tan poco probable que puede despreciarse y por tanto nos quedan solo 4 resultados: (niño, niñaT), (niñaT,niño), (niñaT, niñaNT), (niñaNT,niñaT) estos resultados, con buena aproximación son igualmente probables. Entonces tenemos que 2 de los 4 resultados son familias con 2 hijas así que la respuesta a la pregunta inicial es que la probabilidad de que ambas sean niñas es de 1/2 o del 50%. ¡ Si la hija se llama Tomasa las probabilidades son mayores !
2º) Urgencia médica
Usted es un ciudadano corriente con un empleo corriente que vive en una ciudad corriente de 200.000 habitantes. Un día, después de hacerse el reconocimiento médico de la empresa como todos los años el doctor de su empresa le llama por teléfono y le dice con tono preocupado que tiene que hablar con usted. Nervioso, va a visitar al doctor el cual le expone la terrible realidad: ha dado positivo en una prueba que detecta una enfermedad neurodegenerativa de la cual no hay cura y el aparato tiene una fiabilidad del 99% es decir, solo falla 1 de cada 100 casos. Por este motivo el médico le comunica muy triste que tiene un 99% de probabilidades de tener la enfermedad. ¿Es correcta la afirmación del médico?
Respuesta:
El médico, para calcular la probabilidad de que tenga la enfermedad ha tenido en cuenta un único factor: el positivo de la prueba. Sin embargo se ha olvidado de otro factor clave: las probabilidades de tener la enfermedad, es decir, la incidencia de la enfermedad en la población general. Si es una enfermedad rara será mucho menos probable que realmente la tenga que si es una enfermedad común. Consultando en las estadísticas obtenemos que la incidencia de la enfermedad en la población general es de menos de 1 caso por cada 100.000 habitantes. Entonces, con estos datos, considerando por ejemplo la población de su ciudad tenemos:
- De media solo 1 de cada 100.000 habitantes tendrán realmente la enfermedad así que en su ciudad de 200.000 habitantes habrá de media 2 casos.
- Puesto que el índice de falsos positivos de la prueba es de 1 entre 100 tenemos que habrá 1000 veces más personas que den falsos positivos de los que realmente tienen la enfermedad, es decir, darán falsos positivos 2000 personas en su ciudad. Por tanto solo ¡2 personas de cada 2002 casos que dan positivo tienen la enfermedad! es decir la probabilidad de estar enfermo es solo de 0,0999% ¡menos de 1 entre 1000!
3º) Concurso millonario
Usted está participando en un concurso cuyas reglas son muy simples: hay 3 puertas, en 2 de ellas hay una docena de libros de recetas de cocina y en 1 de ellas hay un Ferrari. Usted elige 1 de ellas, a continuación el presentador abre una de las otras 2 puertas y muestra los libros de cocina. Después le pregunta: ¿Quiere cambiar su elección y escoger la otra puerta que falta o mantiene su elección inicial? ¿Usted que haría, cual es la opción con más probabilidades?
Respuesta:
Probablemente la respuesta a esta pregunta es una de las impactantes en cuanto a que nuestra intuición nos dice inmediatamente que la respuesta es obvia: no hay ninguna diferencia entre mantener la elección o cambiar la puerta, obviamente las posibilidades de acertar son del 50%. Pero esto es ¡ FALSO ! Para darnos cuenta que casi nadie es capaz de responder correctamente a esta pregunta (nadie que no la haya oído y entendido de antemano) esta pregunta fue formulada a uno de los matemáticos más importantes de los últimos años: Paul Erdos y respondió de forma incorrecta (dijo que las probabilidades eran del 50%), incluso cuando se le mostró la respuesta afirmó "esto no puede ser correcto" y solo se convenció cuando se le mostraron los resultados de simulaciones numéricas del problema en un ordenador. La respuesta es que tienes el doble de probabilidades de ganar el Ferrari si cambias de puerta. Es decir, si te mantienes en tu elección inicial las probabilidades de éxito son solo de 1/3 o del 33% sin embargo, si cambias, las probabilidades de ganar son de 2/3 o del 66%. Esto, sin explicación, es muy difícil de creer así que vamos a explicar el porque con detalle.
Existen 2 escenarios posibles:
Escenario 1: La elección inicial es la correcta. En este caso la puerta que eliges al principio es la que esconde al Ferrari por lo que cambiar de puerta después siempre tendrá como consecuencia perder el Ferrari. Este escenario tiene claramente 1/3 de probabilidad de ocurrir.
Escenario 2: La elección inicial es incorrecta. En este caso el Ferrari está detrás de una de las 2 puertas restantes. En este caso sucede algo muy importante a diferencia del caso anterior: el presentador no va a abrir una puerta cualquiera, va a abrir 1 de las 2 puertas restantes, precisamente la que no esconde el Ferrari por lo que la puerta que no ha abierto ¡ Es la que esconde el Ferrari ! De forma que en este escenario cambiar de puerta siempre tendrá como consecuencia ganar el Ferrari y este escenario ocurre 2/3 de las veces. Por tanto la respuesta es que cambiando de puerta tienes el doble de posibilidades de llevarte el Ferrari.
En la televisión han existido programas de este tipo y las estadísticas de estos demuestran claramente que aquellos concursantes que cambian de puerta, de media, ganan el doble de veces el concurso que los que no lo hacen. Este ejemplo muestra también que el cálculo de probabilidades es algo que puede ser muy sutil y delicado, ya que hay que analizar muy bien la información disponible y analizar con cuidado el papel de la aleatoriedad. En este ejemplo la aleatoriedad ejercida por el presentador es distinta en ambos escenarios: en el escenario 1 cualquiera de las puertas que abra no contiene el Ferrari por lo que esta acción no influye en el hecho de que cambiar de puerta siempre conlleva perder, sin embargo, en el escenario 2 el presentador ayuda al concursante eliminando la puerta que no tiene el Ferrari e indicando al concursante cual es la puerta ganadora.
Fuentes: El andar del borracho, 2008 Leonard Mlodinow