Si miramos a nuestro alrededor vemos simetría por todos los lados: las mesas, los edificios, las hojas de los árboles, las personas... parece claro que la simetría es una propiedad muy común. Es evidente que la naturaleza utiliza la simetría. Por ejemplo, la simetría bilateral "izquierda-derecha" está presente en la mayoría de los seres vivos, esto es así porque para estos no hay distinción entre la derecha y la izquierda mientras que sí la hay entre "arriba y abajo": los organismos terrestres no pueden volar, y los organismos acuáticos y las aves necesitan diferenciar arriba y abajo por motivos de cambios de presión, gravedad, temperatura, etc.
Existe incluso una profunda relación entre belleza y simetría ya que nuestro cerebro asocia simetría con belleza, algo simétrico es bello mientras que algo asimétrico nos parece feo y extraño.
Los edificios asimétricos nos parecen feos y extraños. Cuando vemos un cuadro torcido nos entran ganas de ponerlo derecho. ¿Cuanto tiempo podrías conversar con el hombre de las gafas torcidas sin pedirle que se las ponga "en posición simétrica"?
La simetría se puede definir como aquello que no cambia cuando modificamos algo en el objeto. Las simetrías másobvias son los cambios en el espacio-tiempo ordinario: traslaciones, rotaciones, reflexiones... sin embargo, existen otras simetrías incluso más importantes que son menos obvias y más abstractas. Estudiando todas estas simetrías nos daremos cuenta de algo increíble: la simetría es una de las propiedades más profundas y más fundamentalesdel Universo en el que vivimos y por tanto de las leyes físicas que lo gobiernan.
CUANDO LA SIMETRÍA SE ROMPE
A menudo, sucede que los sistemas perfectamente simétricos son inestables, es decir, basta una pequeña modificación o perturbación en el entorno para que la simetría perfecta se rompa. Este proceso se denominaruptura espontánea de la simetría y aunque no lo parezca es un proceso muy común en la naturaleza. El ejemplomás conocido es la transición del agua de un estado a otro, sin embargo, hay otros muchos ejemplos menos conocidos tanto en el mundo cotidiano (clásico) como en el mundo de las partículas elementales (cuántico), a continuación explicamos 3 ejemplos de ruptura espontánea de la simetría:
Árboles en el bosque
Imaginemos que paseamos por un bosque una mañana de primavera, al observar los troncos de los árboles apreciamos los dibujos de las cortezas: son aproximadamente lineas verticales equidistantes en las que a veces se incrusta alguna forma aproximadamente elíptica. La forma cilíndrica del árbol tiene 3 simetrías: simetría rotacional (la forma no cambia si se gira), simetría traslacional (no cambia al trasladarla a lo largo de su eje central) y simetría de reflexión respecto a un plano vertical y respecto a un plano horizontal. Es de esperar que los dibujos de la corteza mantengan esas simetrías como así sucede: las lineas verticales mantienen (aproximadamente) las 3 simetrías. Sin embargo, si nos fijamos atentamente, también existen algunos árboles en los que el dibujo de la corteza tiene forma de espiral.
Esto se puede explicar en términos de ruptura de la simetría: la espiral mantiene la simetría de rotación si efectuamosprimero una rotación y luego una traslación, es decir, la simetría está rota. De esta forma se aprecia que la espiral es la forma geométrica natural que surge de la ruptura de la simetría de un cilindro y que es la forma que cabe esperar cuando la simetría cilíndrica inicial es inestable y se rompe por cualquier perturbación exterior.
Flujo de Couette-Taylor
En este ejemplo tenemos 2 cilindros de distinto tamaño uno dentro de otro. El cilindro exterior es fijo mientras que el cilindro interior gira a una velocidad que aumenta constantemente. La parte entre el cilindro exterior e interior se rellena con un líquido. A continuación podemos ver lo que sucede según aumenta la velocidad del cilindro interior:
En este proceso se pueden observar 4 fases claramente diferenciadas:
Fase1: Flujo de Couette Fase2: Vórtices de Taylor
Fase 3: Vórtices ondulantes Fase 4: Vórtices turbulentos
Aunque parezca increíble la formación de estos patrones debidos al movimiento rotatorio del líquido se pueden explicar entérminos de simetrías y de ruptura de la simetría. Lo primero es analizar las simetrías del aparato:
1º) Simetría rotacional respecto a su eje: si giramos el aparato con respecto a su eje todo permanece invariante.
2º) Reflexión respecto a un espejo horizontal: el aparato posee simetría arriba-abajo (pero no posee simetría izquierda-derecha, ya que si ponemos un espejo vertical veríamos que la imagen gira al revés)
3º) Simetría de traslación vertical: el aparato no cambia ante desplazamientos verticales (para nuestro propósito podemosimaginar que el cilindro es muy largo y podemos ignorar los bordes).
A continuación vamos a tratar de explicar las distintas fases que vimos anteriormente solamente en términos de simetría y de su ruptura:
Fase 1: Flujo de Couette: En esta fase en la que la velocidad del cilindro es baja la simetría es total, se mantienen todas las simetrías del aparato y por eso no vemos ningún patrón o pauta en el movimiento del fluido.
Fase 2: Vórtices de Taylor: En esta fase, el aumento de velocidad del cilindro rompe la simetría de traslación vertical, el aparato ya no permanece invariante si lo trasladamos verticalmente aunque mantiene cierto grado de simetría aún: si lo desplazamos exactamente la distancia entre 2 vórtices (no puede ser solo la distancia entre 1 vórtice ya que entre vórtices consecutivos el líquido fluye en sentido contrario) la simetría se mantiene. Decimos que se ha producido una ruptura de la simetría de traslación vertical. Las otras simetrías del aparato se mantienen.
Fase 3: Vórtices ondulantes: Ahora, además de la simetría de traslación se rompen la simetría de rotación y la de reflexión.Sin embargo, como en el caso anterior estas simetrías no se rompen totalmente: si giramos el aparato un ángulo igual al "periodo" de la "onda" de la nueva pauta que se ha formado entonces todo permanece inalterado. Por otro lado si efectuamos una reflexión vertical la "onda" siempre cambiará (donde antes había un valle ahora habrá un pico y viceversa)sin embargo, si efectuamos una rotación y luego una traslación entonces la simetría se mantiene. Decimos que el grupo de simetrías de rotación, traslación y reflexión se ha roto pero se mantiene la simetría rotación x traslación.
Fase 4: Vórtices turbulentos de Taylor: Aunque a primera vista parezca que se ha restaurado la simetría de traslación, en realidad, en esta etapa todas las simetrías iniciales del aparato están rotas y el flujo fluye de forma (aunque aún se puede encontrar cierto orden incluso dentro del caos). Evidentemente para hacer cálculos cuantitativos hay que utilizar las matemáticas, en este caso las ecuaciones de Navier-Stokes. Los cálculos y simulaciones numéricas confirman lo obtenido en este análisis basado en la simetría.
Simetría de un campo cuántico
Un campo cuántico puede considerarse como un campo de energía clásico (como el campo electromagnético) pero con la diferencia de que está cuantizado, es decir, a cada punto del espacio-tiempo se le asigna un valor numérico, un valor discreto. Las "vibraciones" de estos campos dan lugar a lo que conocemos como partículas elementales: electrón, fotón, etc. El siguiente potencial describe un campo cuántico escalar:V(x,y)= -1/2µ2(x2+y2)+1/4ß2(x2+y2)2. Esto dibujado gráficamente se corresponde con la siguiente conocida imagen del "sombrero mejicano":
Como vemos este potencial tiene una simetría rotacional y una simetría de reflexión respecto a un espejo vertical quepasa por el origen. El punto (0,0) es el centro de la simetría pero es un punto inestable puesto que no es el punto demínimo potencial. Los puntos de mínimo potencial (puntos del vacío) son los que forman la circunferencia inferior. Todo campo tenderá de forma natural a situarse en el punto de potencial mínimo, por ello, es de esperar que el campo"caerá" de forma natural desde el punto (0,0) a un punto situado en el mínimo de potencial, es decir, cualquier punto del círculo x2+y2=µ2/ß2. Supongamos por ejemplo que el campo "cae" al punto (0,µ/ß). Ahora tenemos que nuestro origen de coordenadas está en el punto (0,µ/ß) en lugar del (0,0). Si observamos ahora la gráfica del potencial vemos que la simetría de rotación y la de reflexión se han roto:
Este es otro proceso de ruptura espontánea de la simetría. Si hacemos el cambio de coordenadas con el nuevo origen tenemos: x pasa a ser £, y pasa a ser Ø+µ/ß, sustituyendo estos valores en la expresión del potencial tenemos:V(£,Ø)= -1/2µ2(£2+(Ø+µ/ß)2)+1/4ß2(£2+(Ø+µ/ß)2)2= µ2Ø2 + 0£2 + (términos de 3º y 4º orden). Los coeficientes de los nuevos campos Ø y £ representan la masa de los mismos, por tanto lo que ha sucedido al romperse la simetría es que el campo inicial se ha transformado en un campo Ø con masa µ y un campo £ con masa 0 es decir ¡sin masa!
Esto es algo que sucede siempre en todos los sistemas físicos: siempre que se rompe la simetría de un sistema cuántico aparece un campo escalar sin masa (llamado bosón de Goldstone). Sin embargo, los campos sin masa no existen en la vida real así que ¿que significado físico tiene el campo £? Debemos darnos cuenta de que cuando hemos hecho el proceso de ruptura espontánea de simetría desplazando el origen desde (0,0) a (0,µ/ß) hemos desplazado todos los puntos del campo a la vez INSTANTÁNEAMENTE, sin embargo, esto esta prohibido por la relatividad. Si en lugar de esto lo que hacemos es realizar la transformación localmente, es decir, teniendo en cuenta el desplazamiento a través del espacio tiempo (esto se denomina técnicamente una transformación Gauge) ocurre algo espectacular: el campo £ sin masa ¡gana masa de repente! El mecanismo por el que el campo sin masa adquiere masa se denomina mecanismo de Higgs.
Recientemente, el 04-07-2012 el LHC anunció oficialmente el descubrimiento de la partícula de Higgs.Para terminar hay que señalar que este proceso que hemos descrito de realizar una transformación local (una transformacióngauge) aplicada sobre distintas simetrías da lugar a las distintas fuerzas fundamentales de la naturaleza. Por ejemplo si exigimos que un campo cuántico tenga una simetría rotacional (llamada simetría U(1)) y exigimos que esta simetría sealocal (gauge) entonces entonces surge de forma natural un campo potencial cuya fuerza de repulsión o de atracción solo depende de la distancia: el potencial electromagnético. De forma similar podemos obtener las otras fuerzas fundamentales de la naturaleza: la fuerza nuclear débil y la nuclear fuerte. ¡ Las fuerzas fundamentales existen para preservar las simetrías fundamentales del Universo !
Fuentes: ¿Es Dios un geómetra? Ian Stewart y Martin Golubitsky 1995, A Simple Introduction to Particle Physics Matthew B. Robinson, Karen R. Bland, Gerald B. Cleaver, and Jay R. Dittmann. Department of Physics,