LA TRANSICIÓN CUERDA-AGUJERO NEGRO

Recientemente, con motivo de un congreso de física fundamental, se solicitó a uno de los padres de la teoría de cuerdas, el gran físico Leonard Susskind, una explicación sencilla y para un público con estudios básicos sobre alguna característica fundamental de la teoría de cuerdas. En este artículo describiremos muy brevemente la sorprendente explicación de Susskind: con solo cuatro fórmulas muy simples y un par de conceptos sencillos es capaz de explicar una de las características más profundas y sorprendentes de la teoría de cuerdas: la denominada "correspondencia cuerda-agujero negro".

Los parámetros de una cuerda

En teoría de cuerdas, los objetos extendidos fundamentales se describen mediante un conjunto de magnitudes físicas: la constante de acoplamiento (g) que determina la fuerza con la que las cuerdas interaccionan entre sí, la longitud fundamental de la cuerda (ls) y la masa (M). En este artículo consideraremos simplemente cuatro relaciones fundamentales, comunes a todos los tipos de teorías de cuerdas:

1º) Relación entre la constante de Newton (G), la constante de acoplamiento (g) y la longitud de la cuerda (ls):

(1)

2º) Radio de Schwarzschild (Rs):

(2)

3º) Radio de Schwarzschild/longitud de la cuerda:

(3)

4º) Entropía de la cuerda:

(4)

Supongamos que tenemos un conjunto de cuerdas y tenemos la capacidad de variar de forma lenta y continua el valor de su longitud total L. Si empezamos a disminuir

el valor de L alcanzaremos un punto en el que la longitud total de las cuerdas es inferior al radio de Schwarzschild (RS). En ese momento el conjunto de cuerdas "colapsa" y se forma un agujero negro. Esto sucederá cuando la longitud de la cuerda alcance Rs, más concretamente, cuando el radio de Schwarzschild por unidad de longitud de cuerda Rs/ls (3) sea del orden de la unidad. De forma similar a las vibraciones de una cuerda de guitarra, las cuerdas tienen diferentes "frecuencias de vibración". Cuanto más alta es la "frecuencia de vibración" más alta es la masa correspondiente a ese estado de vibración. Desde los comienzos de la teoría de cuerdas se sabe que existen vibraciones masivas de las cuerdas cuyo radio de Schwarchild es inferior a Rs/ls y por tanto, estos estados producirán agujeros negros.

Lo que queremos conocer es: ¿en que momento se produce ese punto crítico de transición cuerda/agujero negro?

Cuerdas y agujeros negros

En 1993 Susskind fue invitado por el grupo Rutgers a dar un seminario sobre cuerdas y agujeros negros. Por entonces ya se sabía que los agujeros negros radiaban energía y que por tanto tenían que tener temperatura y entropía. En concreto, la entropía total de un agujero negro viene dada por la famosa expresión de Bekenstein-Hawking:

Esta entropía debía proceder de un número enorme de "microestados" correspondientes a vibraciónes de algún objeto u objetos fundamentales. ¿Que podrían ser estos objetos? Susskind estaba convencido de que esta entropía solo podía proceder de movimientos o vibraciones de ciertos objetos fundamentales que se encontraban comprimidos en el horizonte. Por supuesto, Susskind se estaba refiriendo a estados de vibraciones de cuerdas, los objetos fundamentales contemplados en la prometedora teoría de (super)cuerdas.

Pero, ¿como se podía calcular la dinámica de estos objetos? Entonces tuvo una idea: si partimos de un agujero negro inicial con entropia total S formado a partir de vibraciones muy masivas de cuerdas y comenzamos a reducir lentamente la constante de acoplamiento (g) sin variar la entropía (lo que se conoce en termodinámica como curva adiabática), entonces, por debajo de cierto valor de g el horizonte desaparecerá y tendremos solamente un conjunto de cuerdas libres con la misma entropía que el agujero negro original.

A medida que reducimos el valor de g llegará un punto en el que el horizonte desaparecerá y tendremos solamente un conjunto de cuerdas vibrantes. La cuestión es: ¿podemos identificar y explicar que sucede justo en ese punto de transición?

Por tanto si podemos calcular la entropía del conjunto final de cuerdas libres podremos conocer la entropía total S del agujero negro original.

La transición agujero negro-cuerda

El punto de transición desde un agujero negro a un conjunto de cuerdas libres se producirá cuando Rs/ls=1. Tomando la expresión (3) tenemos que esto sucederá cuando: 1=Mg2ls, es decir cuando se cumpla que M=1/g2ls. A continuación dibujamos esta linea en un gráfico donde representamos la variación de M respecto de g (linea roja):

La linea roja representa todos los posibles puntos críticos de transición, es decir, todos los puntos donde se cumple que Rs/ls=1.

A continuación dibujamos las curvas adiabáticas asociadas a un agujero negro, estas curvas, son hipérbolas que representan todos los puntos donde la entropía permanece constante (curvas moradas). El punto que estamos buscando estará en la intersección entre la curva roja y las curvas de entropía constante.

La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿Que le sucede a la entropía justo a partir del punto de transición? A partir de ese punto tendremos una cuerda libre, por tanto, la entropía será independiente de g (las cuerdas libres no interaccionan). Esto quiere decir que justo a partir del punto de transición la entropía será prácticamente una recta constante:

Si comenzamos con un agujero negro de masa Mo y acoplamiento go y comenzamos a disminuir g manteniendo la entropía constante siguiendo, por ejemplo, la curva adiabática superior, el punto de transición será:

El punto de transición se produce en la cruz verde de la figura. En ese punto tenemos que Rs/ls=1 y que Mg no ha variado respecto a a Mogo, por tanto se cumple que:

Resolviendo las dos ecuaciones anteriores obtenemos que para el punto común de ambas gráficas se cumple:

Teniendo en cuenta las expresiones (1) y (4) llegamos al resultado:

¡Esta es la entropía de Bekenstein-Hawking! ¡Hemos obtenido el mismo resultado que logró Hawking mediante un riguroso análisis semiclásico simplemente usando unas pocas expresiones "cuerdísticas" fundamentales! Hay que resaltar que este cálculo es solo aproximado (no tiene en cuenta el factor 1/4), sin embargo, sirve para entender de forma sencilla ciertos conceptos de la teoría de cuerdas y apunta claramente a una explicación "cuerdística" de los microestados que componen un agujero negro.

Entropía y área de un agujero negro

La famosa ecuación de Bekenstein-Hawking nos dice que la entropía de un agujero negro es proporcional al área del horizonte. Esta característica es muy extraña: es como si el interior del agujero negro no existiese y todos los microestados estuviesen almacenados en la superficie del horizonte. La pregunta que nos haremos ahora es la siguiente: este extraño comportamiento de los agujeros negros ¿puede ser un indicio del origen "cuerdístico" de los microestados de un agujero negro?

Para responder a la pregunta anterior haremos un cálculo muy sencillo. Solo necesitamos conocer dos simples expresiones generales en teoría de cuerdas:

Donde L es la longitud total de la cuerda y Ss es la entropía de la cuerda.

Combinando estas dos expresiones obtenemos la expresión (4) que vimos anteriormente:

Consideremos que efectivamente el horizonte está lleno de cuerdas que vibran y que por tanto, podemos hablar del horizonte como una superficie con campos y energía. Entonces, como sucede con cualquier superficie, cualquier partícula que incida sobre ella puede ser dispersada o absorvida. La sección eficaz de una superficie es un valor que se utiliza para calcular la probabilidad de que una partícula que incide sobre la misma sea dispersada. Consideremos una partícula escalar sin masa (la partícula más simple posible) que incide sobre la superficie del agujero negro y supongamos que dicha superficie está repleta de cuerdas libres. ¿Cual es la probabilidad de que la partícula incidente choque con una cuerda y sea dispersada? Una cuerda que realiza un camino aleatorio en la superficie del agujero negro puede representarse de la siguiente forma:

Las lineas azules representan el camino aleatorio trazado por la cuerda y el cuadrado morado representa la particula que incide perpendicularmente sobre la superficie.

Cada una de las cuadrículas tiene longitud ls y la longitud total de la cuerda es L. Entonces tenemos que la masa total de la cuerda es: M=L/ls2. Ahora imaginar una partícula escalar de longitud 1 (es decir de longitud ls) que cae en el agujero negro. Esta partícula se representará como una cuadrícula de área ls2 que atraviesa perpendicularmente el plano x,y. La probabilidad de que la partícula incidente (cuadrado morado) choque con una cuerda individual es proporcional al área del cuadrado ls2 y a la capacidad de interacción de la cuerda, es decir, a g2. Por tanto

la sección eficaz individual es g2ls2. La sección eficaz total de la superficie será la suma de todas las secciones individuales:

Usando la expresión (1) y teniendo en cuenta que M=L/ls2 obtenemos:

Como sabemos Mls es la entropía de la cuerda, por tanto:

Identificando la sección eficaz con el área del horizonte tenemos finalmente:

Utilizando cuerdas como componentes fundamentales ¡volvemos a obtener el resultado correcto! ¡La entropía es proporcional al área del horizonte del agujero negro!

Fuentes:

Black hole-string correspondence