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ASIMILANDO LA "PARADOJA" DE LOS GEMELOS

En muchos de los artículos de este blog se describen fenómenos sobre física fundamental que pueden parecer demasiado abstractos o complejos para un público general. En este artículo me propongo "poner los pies en la Tierra" y mostrar al lector, de forma sencilla, que no hace falta recurrir a fenómenos "extraños" o "abstractos" basados en complejas leyes de la física teórica para mostrar lo increíble y fascinante que es nuestro Universo, basta con realizar un "simple" viaje desde la Tierra a un lugar "cercano" situado a pocos años luz. A continuación veremos que no es necesario echar mano de nueva física o fenómenos "exóticos" para descubrir fenómenos impresionantes, nuestro Universo real, con la física actualmente conocida y establecida es ya un Universo repleto de fenómenos fascinantes y extraordinarios.


Viajando a "X-Centauri"


A continuación iniciaremos nuestro viaje, el famoso viaje conocido popularmente como "la paradoja de los gemelos": nosotros (el hermano gemelo Alex) comenzamos nuestro viaje el 1 de Enero de 2022 hasta un hipotético planeta llamado "X-Centauri" situado a tres años luz de la Tierra mientras que nuestro hermano gemelo Alfonso permanece en la Tierra. Pactamos con nuestro hermano que todos los años, exactamente a las 00:00 del 1 de Enero, le enviaremos una imagen nuestra con una felicitación de año nuevo y le pedimos que él haga lo mismo. Supondremos que disponemos de una nave capaz de viajar al 60% de la velocidad de la luz (3/5c). Alfonso, después de hacer cuentas, esperaba recibir todos los años, el 1 de Enero la felicitación de su hermano Alex y encontrarse con él de nuevo en la Tierra pasados 10 años de viaje (10*3/5c=6 años luz recorridos). Sin embargo, esto es lo que sucede a la vuelta de su hermano:

- Alfonso: Acordamos que me enviarías una imagen una vez al año en año nuevo y solo he recibido ocho: una cada dos años los primeros ocho años y las otras cuatro ¡ los dos últimos años de viaje !

- Alex: ¡Imposible! Te envié la imagen cada año exactamente justo después de las uvas de Nochevieja.

- Alfonso: En cada imagen tu reloj iba más despacio que el mío

- Alex: ¡Imposible! Eran tus imágenes las que marcaban que tu reloj estaba atrasado respecto al mío.

- Alfonso: Menos mal que has cumplido tu promesa y has vuelto justo en 10 años.

- Alex: ¿10 años? ¡Pero si solo he estado fuera 8 años! ¿Porqué te estás burlando de mi?

¿Qué demonios sucede aquí?









Por supuesto, ambos hermanos están perplejos. Entonces deciden llamar a su primo físico Alberto que accede a explicarles lo que ha sucedido realmente. Para entender lo que está pasando sin recurrir a fórmulas engorrosas debemos dibujar paso a paso la trayectoria espacio-temporal de los dos sistemas de referencia: el de Alfonso en la Tierra y el de Alex dentro de la nave. Pero antes, debemos conocer dos leyes fundamentales del Universo que habitamos.


Los dos pilares de la relatividad


Las dos leyes fundamentales son las siguientes: todo observador medirá siempre independientemente de su estado de movimiento la misma velocidad de la luz en el vacío c y todo sistema de referencia inercial (sin aceleración) es equivalente a cualquier otro. Estas leyes parecen sencillas pero sus implicaciones cambiarán nuestra forma de ver el mundo para siempre. Consideremos a los dos gemelos en reposo, uno dispara un láser en el instante t=0 y mientras que uno permanece en reposo el otro gemelo empieza a perseguir el rayo de luz a una velocidad de 0,6c. Ambos deben medir la misma velocidad para el rayo de luz, es decir, ambos verán que el rayo de luz permanece a la misma distancia ¡sin importar a la velocidad que viaje el gemelo que persigue el rayo de luz! Para que algo así sea posible y la constante v=espacio/tiempo=c permanezca constante para ambos sistemas de referencia solo existe una posibilidad: el gemelo en reposo debe medir que para el otro gemelo el espacio y el tiempo disminuyen al aumentar v. Esta "reducción" en el espacio y el tiempo "compensa" la "velocidad extra" que posee el gemelo que avanza hacia el rayo de luz.


Por tanto, en cada sistema de referencia, el gemelo considerado en reposo verá que para el gemelo viajero la longitud del trayecto disminuye y el tiempo se ralentiza en una cantidad dada por el factor de Lorentz. En nuestro caso v=3/5c y conociendo que el factor Lorentz es:





Obtenemos un factor Lorentz de 5/4. Por tanto, el tiempo para el sistema relativista será contraído por un factor 1/(5/4)=4/5. En la siguiente tabla mostramos la contracción temporal que corresponde al gemelo que viaja en la nave:













Por tanto, mientras que para el sistema en reposo el viaje dura 10 años, para el sistema

relativista el viaje dura solo 8 años. Según la segunda ley de la relatividad ambos sistemas tienen el "derecho" de considerarse en reposo y considerar que es el otro sistema el que se mueve, esto produce una aparente paradoja: ¿Cual de los dos gemelos debe envejecer más rápido? Como veremos la "paradoja" se resuelve al considerar el hecho fundamental de que solo uno de los sistemas permanece en reposo todo el trayecto: el sistema de referencia terrestre.


El sistema de referencia de la Tierra


Desde el sistema de referencia terrestre es la Tierra la que está en reposo y es el viajero el que se mueve en el espacio-tiempo. Dibujaremos en el eje x la dimensión espacial y en el eje y la dimensión temporal. En el sistema de referencia de la Tierra el viaje durará 10 años así que dividimos el eje vertical en 10 partes:










A continuación situamos nuestro planeta X-Centauri a 3 años luz de distancia en el eje X. Para el viajero el viaje dura solo 8 años (4 de ida y 4 de vuelta) por lo que en el diagrama anterior debemos dibujar dos rectas con 4 divisiones cada una. La velocidad de 3/5c se corresponde, en unidades de años luz, con una recta con una pendiente de x/y=3/5 por tanto:


















Ya solo falta añadir las trayectorias de los rayos de luz y las líneas de simultaneidad entre ambos sistemas de referencia. La trayectoria de un rayo de luz corresponde a una pendiente de x/y=1 es decir, 45º de inclinación mientras que las líneas de simultaneidad entre ambos sistemas de referencia serán rectas de pendiente 1/(3/5)=5/3. Al dibujarlas obtenemos nuestro diagrama espacio-temporal completo:



















Las lineas con flechas marrones y azules de 45º son las lineas de los rayos de luz enviados entre la Tierra y la nave espacial. Las lineas grises son rectas de inclinación 5/3 y representan las lineas de simultaneidad desde el punto de vista del viajero. Las lineas de simultaneidad con respecto a la Tierra son simplemente rectas horizontales (no dibujadas).


Solamente con echar un vistazo al diagrama espacio-temporal anterior nos topamos de golpe con ese Universo "extraño" y fascinante del que hablábamos en el comienzo de este artículo. El primer fenómeno "extraño" es el siguiente: si vemos las líneas de simultaneidad entre ambos sistemas de referencia encontramos que tanto el viajero como el observador terrestre encuentran que el tiempo se mueve más despacio para el otro gemelo. Por ejemplo, el primer año para el viajero se produce cuando solo han pasado 0,8 años en la Tierra (linea gris) y viceversa (trazar linea horizontal desde la primera división del eje vertical).

¿Como es esto posible? ¿Quién tiene razón? ¿Que demonios significa esto?


El fenómeno extraño número dos no es menos impactante: observando el eje vertical que representa el sistema de referencia de la Tierra podemos verificar que el gemelo terrestre recibe una señal (anual desde el punto de vista del gemelo viajero) cada dos años los ocho primeros años terrestres y dos señales por año los dos últimos años.

Esto supone un total de solo ¡ 8 señales ! ¿Como? ¿Podeis imaginar la perplejidad del hermano terrestre? Lo primero que pensará es que su hermano gemelo está haciendo trampas para burlarse de el.


El fenómeno extraño número tres también es impactante: justo en el punto de retorno del viajero en el año cuatro de viaje las lineas de simultaneidad saltan súbitamente de 3,2 a 6,8 años terrestres, es decir, justo en el instante en el que Alex cambia su dirección ¡Alfonso envejece de golpe varios años!


El fenómeno extraño número cuatro ya es de sobra conocido: cuando el hermano gemelo vuelve a la Tierra y ambos hermanos comparan sus cronómetros uno encuentra que han pasado 10 años y el otro ¡solo ocho años!

A continuación trataremos de dar respuestas a estos extraños fenómenos sin recurrir a fórmulas complejas.


El sistema de referencia de la nave espacial

A continuación dibujaremos el diagrama espacio-temporal desde el sistema de referencia del gemelo viajero. El viaje de Alex se compone de dos partes muy diferentes:


Trayecto de ida


En el trayecto de ida se mantiene la "simetría" con respecto al caso anterior: un sistema se puede considerar en reposo y el otro moviéndose a velocidad constante. Ahora es Alex el que se considera en reposo y es la Tierra la que se aleja de el a -3/5c. Por tanto dibujamos la nave espacial en el eje vertical y a la Tierra viajando en el espacio en una recta de pendiente -3/5c:















Como puede verse el gráfico es coherente con el del caso anterior: los 4 años del trayecto de ida para Alex son solo 3.2 años para Alfonso y en ese tiempo la Tierra se ha alejado 2,4 años luz de distancia (trazar linea horizontal desde el valor 3,2 en el eje y en el gráfico anterior).


Trayecto de vuelta

Pero una vez llegados a nuestro destino la "simetría" con respecto a los casos anteriores se rompe: debemos frenar, girar, y volver a acelerar hasta alcanzar la misma velocidad que en el trayecto de ida pero en el sentido contrario.

Supondremos que los intervalos de frenado-giro-aceleración son muy cortos comparables con el resto del viaje (a pesar de que tardaríamos 9 meses en alcanzar esa velocidad acelerando a 1g) y podemos despreciarlos (aunque como veremos estos fenómenos son esenciales para entender todo el proceso). Justo en el instante en el que comienza el viaje de vuelta el sistema de referencia ha cambiado, ahora los dos sistemas se mueven el uno hacia el otro (ya que ambos sistemas acaban encontrándose en el mismo "punto" del espacio-tiempo). Debido a esto la velocidad relativa entre ambos sistemas ya no es -3/5c sino -(3/5c)-(3/5c), lo que produce, utilizando la fórmula de adición de velocidades relativistas, una velocidad de -15/17c.

¡Esto explica porque Alex recibe con más frecuencia los mensajes de Alfonso cuando vuelve!

Esto puede verse más intuitivamente completando la gráfica anterior: transcurridos 10 años desde el punto de vista Terrestre ambos sistemas de referencia deben encontrarse, por ello, debemos trazar una recta desde el punto y=4 hasta la división número 10 de la recta Terrestre. El diagrama espacio-temporal final será:



















Podemos comprobar que la pendiente de la recta que hemos dibujado es exactamente -15/17. Si comparamos ambos diagramas vemos que ambos coinciden: Alfonso recibe los 4 primeros mensajes a razón de uno cada dos años y los otros cuatro a razón de 2 cada año mientras que Alex recibe los dos primeros mensajes cada dos años y los ocho siguientes a razón de 2 por año. Uno de los motivos responsables de esta asimetría es fácil de entender: durante el trayecto de ida Alex se aleja de Alfonso y por tanto los haces de luz tardan más en llegar mientras que en el trayecto de vuelta ambos sistemas se acercan y reciben "de golpe" los haces de luz que faltaban por recibir.


El otro responsable de la asimetría es puramente relativista: el salto de las lineas de simultaneidad es debido el súbito cambio de referencia al iniciar la vuelta. En ese instante el gemelo cambia de una "linea de mundo" con cierta secuencia de valores de espacio y de tiempo a otra "linea de mundo" diferente con una secuencia espacio-temporal diferente. De hecho, el factor de contracción Lorentz a la vuelta es de 17/8 mucho mayor que el de la ida de 5/4. Por tanto, justo en el instante en el que Alex comienza la vuelta los valores de espacio y de tiempo se actualizan instantáneamente lo que produce el salto en las lineas de simultaneidad.

Asimilando la "paradoja" de los gemelos


Llegados a este punto seguramente el lector (al igual que el autor) tenga una sensación extraña: ¿Como demonios es esto posible? Esta sensación es debida al choque frontal entre nuestra experiencia cotidiana y la realidad mostrada por las leyes de la física

relativista. ¿Como es posible que ambos relojes no coincidan en el punto de encuentro?

Una forma más "intuitiva" de verlo es asimilando que nuestro Universo no es el mundo tridimensional que nos muestra nuestros sentidos, el Universo tiene 4 dimensiones.

Fijémonos por ejemplo en trayecto de ida en el sistema de referencia terrestre:














El vector azul representa el intervalo espacio-temporal terrestre y el rojo el de la nave espacial. El gemelo terrestre "ve" 5 "unidades de tiempo" y 0 de espacio mientras que el gemelo viajero "ve" solo 4 unidades de tiempo y 3 de espacio. Por tanto el gemelo viajero viaja "mas despacio" en la dimensión temporal y por eso envejece más lento. Ambos gemelos ven diferentes "proyecciones" de la misma entidad: un vector cuatridimensional invariante.


Un sistema en reposo como la Tierra viaja prácticamente el 100% en el tiempo y el 0% en el espacio mientras que un viajero en una nave espacial a 3/5c viaja 3 partes de espacio por cada 5 de tiempo. Esto nos indica que cuando se encuentran el gemelo viajero ha viajado menos en el tiempo y por tanto es más joven. Sin embargo, el intervalo espacio-temporal cuatridimensional no varía es el mismo para todos los observadores. Esto puede verse fácilmente considerando el intervalo cuatridimensional (el módulo del vector en cuatro dimensiones) que es:




Considerando solo el eje x tenemos que el intervalo espacio temporal cuatridimensional para la Tierra es :

(S1)^2= (tiempo^2,ejex^2,ejey^2,ejez^2) (S1)^2=(5^2,0,0,0)=25

Mientras que para el sistema de referencia de la nave tenemos:

(S2)^2=(tiempo'^2,ejex'^2,ejey'^2,ejez'^2) (S2)^2=(4^2,3^2,0,0)=16+9=25


¡Para un ente cuatridimensional el intervalo espacio-temporal es siempre el mismo!
















Las "proyecciones" del mismo vector 4-dimensional (linea roja)en un sistema de referencia en reposo (linea verde) y en un sistema de referencia relativista con los ejes girados (linea azul)


Para finalizar trataremos de responder a los principales interrogantes que se pueden plantear respecto a esta aparente paradoja de los gemelos:


- Si ambos gemelos "ven" que el otro envejece más lento ¿Como se decide cual de los dos es más viejo en el punto de encuentro?

La respuesta es que la situación no es simétrica como parece: uno de los gemelos se encuentra siempre en un sistema inercial mientras que el otro está sometido a fuerzas de aceleración que pueden ser medidas localmente. Es este último gemelo el que ha envejecido menos y el que será más joven en el punto de encuentro. Por este motivo la "paradoja" de los gemelos no es realmente una paradoja sino que es perfectamente explicable por la teoría de la relatividad especial ya que ambos sistemas no son equivalentes.


- ¿Que papel juega la aceleración?

Algunos trabajos afirman que es la aceleración necesaria para cambiar de sistema de referencia la que produce la dilatación espacio-temporal ya que, debido al principio de equivalencia, es como si el reloj del viajero estuviese inmerso en un potencial gravitatorio. Sin embargo, puede demostrarse (por ejemplo usando dos sistemas de referencia inerciales que viajan en sentido contrario y que justo en el punto de retorno se encuentran y transfieren sus relojes) que este fenómeno es explicado usando solamente la relatividad especial.


- ¿Ha pasado "realmente" el tiempo más lento para el gemelo que viaja? Es decir, ¿El tiempo "biológico" que siente el gemelo viajante también se ralentiza?

Toda la materia que existe en el Universo, incluyendo por supuesto nuestros cuerpos biológicos, está formada de átomos. Todos los procesos físicos atómicos (salvo unos pocos fenómenos nucleares) son procesos electromagnéticos basados, a nivel fundamental, en el intercambio de fotones que viajan a la velocidad de la luz. Por tanto, cualquier magnitud de distancia atómica como el radio de Bohr o cualquier magnitud de tiempo atómico como el tiempo de transición entre distintos niveles de energía en un átomo están sujetos a los procesos relativistas de contracción espacial y dilatación temporal.


- ¿Tiene más tiempo para "hacer cosas" el gemelo que permanece en la Tierra? Es decir, si registrásemos segundo a segundo ambos trayectos veríamos realmente que el gemelo viajante a vivido menos tiempo?

Efectivamente, en el encuentro, Alfonso ha vivido dos años más que Alex y ha tenido más tiempo útil que él como lo demuestra el hecho de haber podido enviar 10 mensajes al contrario que Alex que solo ha podido enviar 8.

Si llegados a este punto el lector aun no está convencido puede verificar que todo esto es correcto recurriendo a la fórmula Doppler relativista. El desplazamiento de la frecuencia será:



Por ejemplo si consideramos una velocidad media de v=12/13c tenemos que:



Por tanto la frecuencia media de los mensajes recibidos por Alex es:


Lo que nos indica correctamente que durante ese periodo, a esa velocidad media, Alfonso hubiera envejecido 13/5 más que Alex.



Fuentes: The twin paradox space time diagrams






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