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PARADOJAS, MANIPULACIONES Y ACERTIJOS MATEMÁTICOS

Actualizado: 20 de oct de 2019


Esta es una contribución a la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas que se celebra en esta ocasión en el blog Gaussianos.

A continuación describo varias situaciones que ilustran que muchas veces existe un conflicto entre lo que la intuición nos dice que debería ser y la realidad que nos muestra las matemáticas.


1º) LA PARADOJA: ¿QUE HOSPITAL DEBERÍA CERRAR?

Los estadísticos saben que suceden cosas extrañas cuando se combinan datos. Una de ellas es la llamada paradoja de Simpson, que se ilustra a continuación con un ejemplo: El Ministerio de sanidad estaba recogiendo datos sobre el éxito en las intervenciones quirúrgicas. Dos hospitales, el hospital clínico de San José y el hospital General Metropolitano estaban en la misma zona y el ministerio iba a cerrar el que tuviera menos éxito de los dos. Los datos son los siguientes: Hospital San José: Operados: 2100, Defunciones por operaciones: 63 (el 3%) Hospital Metropolitano: Operados: 800, Defunciones por operaciones: 16 (el 2%) Para el ministerio la situación es obvia: el hospital General Metropolitano tenía una tasa de mortalidad más baja, así que se cerraría el hospital San José. Cuando fue informado de la decisión del Ministerio y de los datos que avalaban la decisión el director del hospital San José protestó enérgicamente y para defender a su hospital pidió al Ministerio que separase las cifras por sexos para observar las cantidades pertenecientes a hombres y mujeres. El Ministerio era reacio a hacerlo puesto que lo consideraba una pérdida de tiempo ya que obviamente las cantidades totales seguirían favoreciendo al hospital Metropolitano sin embargo, como era un cálculo muy rápido al final consideró más práctico realizarlo que seguir discutiendo con el director.

Estos fueron los datos de ambos hospitales: Hospital San José: Operados: 600 mujeres y 1500 hombres. Defunciones: 6 mujeres (1%) y 57 hombres (3,8%) Hospital Metropolitano: Operados: 600 mujeres y 200 hombres. Defunciones: 8 mujeres (1,33%) y 8 hombres (4%) Al ver estos datos el delegado del Ministerio se queda perplejo (la suma de los datos por sexos da correctamente los resultados originales por lo que no encuentra ningún error): !ahora el hospital San José tiene mejores porcentajes en ambos sexos que el Metropolitano! ¿Como es esto posible? Y la pregunta del millón: ¿Qué hospital cerramos y como lo justificamos? Si cerramos uno el otro tiene argumentos para recurrir la decisión ante los tribunales.

Aclaración: La paradoja de Simpson es objeto de controversia y pone de manifiesto que cuando hay 2 o más variables interrelacionadas la comparación entre los datos globales y entre los datos separados por grupos pueden ser diferentes. La interpretación de este tipo de paradojas en algunos casos puede no estar clara y siempre depende de las características del estudio en cuestión. Por esto, la comparación entre porcentajes y datos estadísticos de variables interrelacionadas y sobre todo su interpretación debe realizarse con mucho cuidado.


2º) LA MANIPULACIÓN: LONGITUDES, VOLÚMENES Y ESTADÍSTICAS

Las comparaciones engañosas entre distintas magnitudes y de datos estadísticos es una práctica muy habitual en política, medios de comunicación, etc.para resaltar o menospreciar según su interés la importancia de las cifras en cuestión. A continuación pongo varios ejemplos de como se pueden resaltar o empequeñecer las cantidades: Grupo de interés en resaltar cifras: Si pusiéramos el dinero invertido haciendo una torre de monedas éstas llegarían desde el nivel del mar hasta la cima del monte Everest (unos 4 millones de monedas). Grupo de interés en menospreciar las cifras: !Va! no es para tanto: todas esas monedas caben perfectamente en un vehículo con una caja cúbica de 2m de lado. Grupo de interés en resaltar cifras: Si pusiéramos todos los habitantes de la Tierra en fila (unos 6 mil millones) cubríamos unas 8 veces la distancia que hay de la Tierra a la Luna. Grupo de interés en menospreciar las cifras: !Va! no es para tanto: todas esas personas incluido un entorno vital de 6 metros cúbicos para cada una caben perfectamente en el gran cañón del Colorado. Grupo de interés en resaltar cifras: En 1995 en EEUU hay más de 400 denuncias anuales que vinculan el cáncer cerebral de una persona con el uso de teléfonos móviles. Grupo de interés en menospreciar las cifras: En 1995 había en EEUU unos 10 millones de usuarios de móviles y la incidencia de cáncer cerebral era de 6 por cada 100000 habitantes al año. Por tanto entre los usuarios de móviles, por pura estadística es de esperar que haya: 10.000.000 X 6 /100.000= 600 casos todos los años ¡ Deberían haber incluso más casos solo teniendo en cuenta la estadística oficial! Aclaración: Es claro que en los 2 primeros casos estamos comparando magnitudes de longitud que aumentan linealmente con magnitudes de volumen que aumentan con el cubo de la longitud del lado.


3º) EL ACERTIJO: ¿DONDE ESTÁ EL EURO QUE FALTA?

Para terminar se ilustra una situación que pone de manifiesto que en algunas ocasiones los enunciados o la forma de explicar las propias circunstancias pueden inducir a engaños o trampas que modifiquen los resultados por lo que es importante prestar atención a todos los detalles de los enunciados matemáticos: Llegan 3 hombres a un hotel y piden una habitación triple para alojarse. El recepcionista les cobra 60€ por la habitación. Al rato se da cuenta de que les ha cobrado de más ya que en la lista de precios pone que la habitación triple son 55€. Entonces, llama al botones y le da un billete de 5€ para que se lo devuelva a los señores de la habitación. El botones coge el billete pero como no sabe dividir 5 entre 3 decide dar 1€ a cada hombre y se queda con los 2€ que sobran. Entonces tenemos que los hombres han pagado 20€ menos 1€ que les devolvió el botones: 19€. Entonces se tiene que entre los 3 han pagado 19 X 3 = 57 € más los 2€ que se quedó el botones son 59€, pero entonces, ¿Donde está el euro que falta? Solución: La trampa en el enunciado se produce cuando se hace el cálculo de lo que ha pagado cada hombre. El cálculo correcto no puede ser 20-1=19 y luego hacer (19 X 3) +2 = 59 ya que en los 20€ iniciales ya están incluidos los 2€ que se quedará el botones de propina.


Fuentes: Baúl de tesoros matemáticos, Ian Stewart, 2009, Página 191. Un matemático lee el periódico, Jhon Allen Paulos, 1995

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