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MONOPOLOS MAGNÉTICOS Y REALIDAD MATEMÁTICA

El gran físico Paul Dirac publicó en 1931 un artículo que causaría un gran impacto en la comunidad científica. Por un lado su trabajo postulaba la existencia de una nueva y extraña entidad física que nadie ha detectado jamás, por otro, esta nueva entidad física poseía cualidades extraordinarias incluyendo la existencia de una especie de "artificio" matemático indetectable por cualquier experimento físico posible. Pero, entonces, ¿Por que los Físicos prestaron tanta atención a un trabajo aparentemente tan especulativo?

La respuesta es apasionante: por que si esta nueva entidad física existiera la cuantización de la carga de todas las partículas del Universo quedaría explicada. En palabras del propio Dirac: "la existencia de una sola de estas entidades en el Universo explicaría porque todas las cargas eléctricas que existen son un múltiplo de e". Pero aún hay más: las ecuaciones de Maxwell presentan una "incómoda" asimetría: no son invariantes ante el intercambio de los campos eléctrico y magnético, sin embargo, si estas nuevas entidades existiesen, las ecuaciones de Maxwell se convertirían en bellas ecuaciones simétricas y los campos eléctricos y magnéticos estarían en pie de igualdad. Además de estos argumentos existen teorías físicas como las teorías GUT y la inflación cósmica que predicen la existencia de estas entidades. ¿Es toda esta "abrumadora" evidencia teórica suficiente para creer en la existencia de estas nuevas entidades? El lector podrá juzgar por si mismo, en este artículo explicaremos todos estos argumentos paso a paso con matemáticas sencillas para que el lector, por si mismo, pueda encontrar la respuesta a esta pregunta.


Monopolos magnéticos y cuerdas de Dirac

Los campos eléctricos (CE) y los campos magnéticos (CM) a pesar de estar asociados al mismo proceso físico fundamental tienen algunas diferencias. Una de las más importantes es que los CE que emergen desde una partícula cargada viajan libremente en todas direcciones mientras que los CM siempre viajan desde una carga inicial (un polo) a una carga final (del polo opuesto), por esto se dice que los CM tienen fuentes y sumideros mientras que los CE no. Si quisiéramos "unificar" los CE y los CM deberíamos primero analizar que sucedería si los CM se comportaran como los CE, es decir, si existiesen polos magnéticos aislados sin fuentes ni sumideros. ¿Como sería su campo y su potencial magnético? Para tratar de responder a esta última pregunta consideremos una carga magnética al final de un solenoide muy largo.












La carga magnética se encuentra en el punto z=0 y el solenoide se encuentra situado a lo largo de la parte negativa del eje z. Sea S la sección del solenoide, y "landa" la corriente por unidad de longitud. El campo magnético del solenoide puede considerarse como la suma de un gran número de pequeños dipolos magnéticos dm. El dipolo magnético entre una longitud z y otra z+dz será:




Un dipolo magnético situado en el origen produce el potencial:




El vector potencial total será:










La cantidad (landa*S/c) representaría una hipotética carga magnética fundamental g que genera el potencial. El potencial anterior sería creado por una nueva entidad física, la nueva entidad de la que hablábamos al principio: un monopolo magnético.













Si observamos la expresión anterior nos encontramos con un problema: para un ángulo de 0 o PI el denominador es 0 y por tanto el potencial diverge y tiende a infinito. Esto es lo que se denomina una singularidad. Este ángulo se corresponde con el eje -z del solenoide infinito, esta recta es muy especial y se denomina una cuerda de Dirac. Dirac en su trabajo original de 1931 las denominó lineas nodales y descubrió que estas lineas constituían en realidad puntos de singularidades del campo electromagnético ya que estaban presentes en todas las partículas cargadas. La existencia de las cuerdas de Dirac supone un problema importante no solo para la posible existencia de monopolos magnéticos sino para toda la formulación de la teoría electromagnética. ¿Como se podría solucionar este problema?


Monopolos magnéticos y la cuantización de todas las cargas del Universo


A continuación podemos hacernos la siguiente pregunta: ¿Como podemos detectar físicamente las cuerdas de Dirac? Como el campo electromagnético en el exterior del solenoide es nulo no esperamos encontrar ningún experimento físico que nos permita detectar la presencia del solenoide. Sin embargo, existe un experimento muy especial basado en el llamado efecto Aharow-Bohm que permite detectar cambios de fase en la función de onda de una partícula. Como sabemos la función de onda compleja de una partícula se puede descomponer en dos partes: el módulo y la fase. Los cambios en la fase de la función de onda de una partícula individual no se pueden detectar ya que la probabilidad de encontrar a una partícula en una posición concreta viene dada por el cuadrado del módulo de la función de onda, sin embargo, si podemos medir la diferencia de fase de dos partículas si las hacemos interferir. En el experimento de Aharow-Bohm dos haces de partículas pasan alrededor de un solenoide muy largo, a pesar de que el campo electromagnético fuera del solenoide es nulo las partículas de ambos haces adquieren un cambio de fase distinto al pasar cerca del solenoide:






Por tanto si hacemos interferir ambos haces al final del proceso obtendremos una medida de la diferencia de la fase adquirida y por tanto seremos capaces de detectar una cuerda de Dirac. El cambio de fase de una partícula que pasa alrededor del solenoide será:




Fijémonos en la expresión anterior. Si el flujo electromagnético del solenoide phiB tuviese un valor que fuese un múltiplo de e/hc entonces el cambio de fase sería cero y por tanto ¡La cuerda de Dirac sería indetectable y la singularidad no tendría ningún efecto físico!


Las cuerdas de Dirac son otro ejemplo de la intrincada relación entre Matemáticas y magnitudes físicas reales, estas entidades, parecen tener una existencia "matemática" más que "física" ya que no son físicamente detectables.

En efecto, tenemos que el flujo que pasa por el solenoide es:



Si exigimos que este flujo sea ademas múltiplo de e/hc (phi0) Entonces tenemos:






Por tanto, si g=Nhc/2e entonces la cuerda de Dirac es indetectable y por tanto resolvemos el problema de la singularidad del potencial magnético. Pero además logramos algo incluso más importante: la expresión anterior implica que e=Nhc/2g

y por tanto explicamos porque todas las cargas del Universo aparecen en múltiplos de una cantidad fija.

Dirac en su trabajo original de 1931 dedujo a partir de un conjunto de pasos heurísticos pero rigurosos que el final de todas las lineas nodales (el monopolo) debe ser igual para todas las funciones de onda. Esta imagen fue la que llevó a Dirac a escribir su famosa frase de "la existencia de un solo monopolo magnético en el Universo explicaría la cuantización de todas cargas eléctricas del Universo".














La fuerza de atracción-repulsión Coulombiana entre dos monopolos magnéticos es aproximadamente 1173 veces más fuerte que la fuerza producida entre dos electrones o un electrón y un protón. Dirac afirmó que esto podría explicar porque nadie ha visto nunca un monopolo magnético.


La simetría de las ecuaciones de Maxwell

Las 4 ecuaciones de Maxwell pueden escribirse de la siguiente forma:










Si existen los monopolos magnéticos y por tanto la unidad de carga magnética fundamental g entonces las ecuaciones se transforman en:











¡ Las ecuaciones ahora son simétricas bajo el intercambio de E y B !


Este es sin duda otro poderoso argumento que apoya la existencia de estas nuevas entidades. El lector podrá juzgar por si mismo si esta ¿abrumadura? evidencia teórica le ha convencido de que los monopolos magnéticos tienen que existir.

Más recientemente el físico Joseph Polchinski afirmó que la existencia de monopolos magnéticos constituye "one of the safest bets that one can make about physics not yet seen" "una de las más seguras apuestas que uno puede hacer sobre nueva física".

¿Esta usted de acuerdo con esta opinión?


Fuentes: Quantised Singularities in the Electromagnetic Field Magnetic Monopoles Quantization and Quasiparticles Dirac quantisation condition