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LA REALIDAD DE LAS ENTIDADES MATEMÁTICAS

Actualizado: 27 de dic de 2019

Hasta hace poco tiempo, ciertas entidades matemáticas como la fase de la función de onda cuántica o los potenciales eléctricos eran considerados como simples artificios matemáticos sin otra relevancia física que simplificar ciertos cálculos útiles para determinar ciertas cantidades físicas. Sin embargo, experimentos recientes han puesto en serias dudas esta afirmación debido a que se ha demostrado que estas entidades matemáticas influyen y determinan el valor de las magnitudes físicas "reales". En este artículo nos centraremos en la fase de la función de onda, el estudio de esta "entidad imaginaria" nos llevará a una nueva y sorprendente visión de la realidad física. Esta nueva visión nos descubre un nuevo mundo físico, un mundo con dimensiones ocultas y nuevas geometrías: ¿Nuestro mundo real?


La fase de una partícula en mecánica cuántica

La famosa ecuación de Schrödinger: ih*d/dt(ø(t.x))= -h2/2m(grad)2ø(t.x)+V(t,x)ø(t.x) describe a una partícula cuántica no relativista de masa m donde ø(t.x) es la función de onda cuántica. Vamos ahora a fijarnos en la solución de esta ecuación que es: ø(t.x)=ei(kx-wt). Si representamos gráficamente esta solución obtenemos lo siguiente:



Es decir, la función de onda es "algo" que "gira" continuamente en el plano complejo. Si consideramos constante el módulo de la función de onda ésta queda totalmente deffsfaedfdsafvcdsden medir directamente mediante ningún experimento físico. Las magnitudes físicamente medibles son posr ejemplo la energía, el tiempo, la posición o el momento.

La probabilidad de encontrar a la partícula en un punto está determinada por el cuadrado del módulo de la función de onda: |ø(t.x)|2. Esto significa que, para cualquier experimento físico solo importa el cuadrado del módulo de ø(t.x), es decir, la fase de la partícula no tiene ninguna influencia: dos partículas con distinta fase son físicamente equivalentes.

Este hecho fundamental de la mecánica cuántica ha llevado a pensar a muchos físicos que la fase de la función de onda es solo un artificio matemático sin relevancia física, sin embargo, experimentos como el efecto Aharanov-Bohm y el descubrimiento de la fase geométrica demuestran que ciertos cambios en las magnitudes físicas inducen cambios en la fase de la función de onda y viceversa. Entonces, ¿Podemos considerar a la fase de la función de onda como algo con existencia real e independiente? ¿Podemos considerar a una entidad que no puede medirse directamente pero que influye y determina el valor de cantidades físicas medibles como algo real? Trataremos de responder a esta pregunta explorando como este "giro fantasmal" de las partículas cuánticas tiene aplicaciones e implicaciones totalmente insospechadas y sorprendentes.


El experimento de Aharonov-Bohm

Considerar un solenoide cilíndrico muy largo por el que pasa una corriente eléctrica. En el interior se crea un campo magnético uniforme pero en el exterior tanto el campo magnético como el campo eléctrico son nulos. A continuación enviamos un haz de electrones que pasan alrededor del solenoide y medimos su fase. Lo que encontramos es increíble: ¡ Su fase ha sido desplazada un ángulo Ø incluso en la ausencia total de campos electromagnéticos !


Las ecuaciones de Maxwell que rigen el electromagnetismo pueden expresarse equivalentemente en función de campos o en función de potenciales. Hasta no hace mucho los campos se consideraban reales y los potenciales, debido a su no localidad, se consideraban meros artificios matemáticos. Sin embargo, este experimento muestra que el potencial electromagnético, que no se anula fuera del solenoide, produce efectos físicos medibles sobre la fase de la función de onda. ¿Son estas dos entidades artificios matemáticos u objetos físicos reales?


El transporte paralelo y la fase geométrica

Imaginemos a un ser microscópico que vive en la superficie de una esfera muy grande. Este organismo, que sabe matemáticas, quiere medir la curvatura de la superficie en la que vive. Para ello, lo que hace es desplazar una vara (un véctor) siguiendo la regla matemática del transporte paralelo a lo largo de un circuito cerrado. Si la superficie en la que vive tiene curvatura, la orientación del vector al volver al punto de partida habrá cambiado. Esto se ve claramente en la siguiente figura:



Si partimos desde un vector perpendicular a la horizontal en el polo norte y lo transportamos paralelamente a lo largo de un circuito cerrado, cuando llegamos al punto de partida el vector estará desplazado un ángulo Ø respecto a su posición original. Ø es proporcional a la curvatura.


Ahora imaginemos a unos seres bastante inteligentes que viven en la superficie de un planeta de tamaño mediano (nosotros) y que hacen el siguiente experimento: toman una partícula elemental (por ejemplo un electrón) y la desplazan lentamente a lo largo de un circuito cerrado (de forma similar al vector en el transporte paralelo) de forma que el estado cuántico de la partícula no cambie (para evitar cambios o saltos en la función de onda).Una vez que han regresado al punto de partida comparan la fase de la partícula con la fase de otra que hubiese permanecido en reposo (como hicimos para medir el cambio de orientación del vector anteriormente). Lo que se observa es que ha habido un desplazamiento de fase adicional en la partícula que ha realizado el circuito cerrado. Este cambio de fase adicional se llama fase geométrica o Berry phase y representa una modificación de la fase "usual" de las partículas o fase dinámica. Al igual que en el caso del transporte paralelo, el sistema, al realizar un circuito cerrado, no vuelve a su estado inicial sino que experimenta un cambio de orientación. ¿Estamos midiendo la curvatura de alguna entidad geométrica o topológica inherente a nuestro espacio-tiempo?

Analizando matemáticamente el origen de la fase geométrica encontramos algo increíble: esta fase no depende del camino seguido, ni de la velocidad a la que se realice, no depende de ninguna magnitud física medible, solo depende del camino seguido en el espacio de parámetros del Hamiltoniano del sistema. Lo increíble es que ¡ este espacio es un espacio matemático abstracto !. Este espacio se denomina también el espacio Proyectivo de Hilbert. Tenemos entonces que el movimiento de una partícula dentro de un espacio matemático abstracto determina el valor de una magnitud (la fase de la función de onda) que al final tendrá efectos medibles en experimentos físicos reales (por ejemplo experimentos de interferencia de partículas). Esto constituye uno de los más grandes ejemplos de la intrincada fusión entre Física y Matemáticas.


La geometría subyacente que explica la fase geométrica

En topología un fibrado es una aplicación continua de un espacio topológico en un espacio base. Esta aplicación se realiza mediante una conexión que determina como se "proyectan" ambos espacios topológicos. La mecánica cuántica se describe matemáticamente mediante un espacio denominado el espacio de Hilbert proyectivo PH mientras que la fase cuántica esta fijada por el espacio que describe un círculo en el plano complejo, este espacio se denomina U(1). Podemos construir un fibrado "proyectando" ambos espacios matemáticos F: (U(1),PH) sin embargo, existe una gran cantidad de conexiones posibles para realizarlo. En 1992 Bohm fue capaz de demostrar que existe una única conexión que consigue preservar una simetría fundamental que permite que las probabilidades en mecánica cuántica siempre sumen el 100%. Esta conexión se denomina "Berry connection". Esta conexión especifica la forma de realizar el transporte paralelo de un vector sobre la superficie del fibrado, es decir, mide la curvatura del fibrado.

Lo increíble es que al construir el fibrado F: (U(1),PH) según la Berry connection obtenemos un espacio topológico que nos permite calcular la magnitud exacta de la fase geométrica. Por si fuera poco, los cálculos matemáticos en este espacio nos indican que si giramos una partícula alrededor de un solenoide muy largo por el que pasa una corriente encontramos que el desplazamiento de la fase geométrica es exactamente el que encontramos en el experimento de Aharanov-Bohm. Por tanto esta última puede considerarse un caso partícular de fase geométrica. La fase geométrica no puede explicarse teniendo en cuenta únicamente los espacios proyectivos de Hilbert como sucede en el resto de fenómenos cuánticos. Esto nos lleva a una conclusión sorprendente: la única forma de explicar y abarcar todos los fenómenos cuánticos conocidos es considerar el fibrado F: (U(1),PH), esta estructura matemática es la única que explica todos los fenómenos cuánticos conocidos.

Conclusiones

Numerosos experimentos demuestran que existen ciertas magnitudes o "entidades matemáticas" que aunque no son medibles directamente influyen sobre las magnitudes físicas que sí podemos medir en los experimentos. Esto implica una "realidad oculta subyacente" o una "realidad matemática". Existe una gran controversia sobre el estatus que debemos otorgar a estas entidades: ¿Podemos considerarlas entidades reales? ¿Debemos redefinir el concepto de realidad? Muchos Físicos y Matemáticos contemplan seriamente la posibilidad de que esta realidad oculta sea en realidad consecuencia de la existencia de nuevas dimensiones del espacio-tiempo. Existen gran cantidad de evidencias que apuntan a esta increíble posibilidad: los grados de libertad adicionales de las partículas, las ecuaciones de Kaluza-Klein, las características de los números complejos, la teoría de supercuerdas... En los próximos años nuevos trabajos teóricos y nuevos experimentos podrán empezar a verificar la existencia de esta "realidad oculta". Lo que queda plenamente demostrado es que nuestro Universo es un lugar increíble y fascinante y la ciencia es la única capaz de mostrarnoslo en todo su explendor.


Fuentes: Gauge Symmetry philosophical approach, Berry phase and quantum structure

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