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LA NATURALEZA DEL TIEMPO EN GRAVEDAD CUÁNTICA

Actualizado: 25 abr

El 14 de Diciembre de 1922 Albert Einstein dio una conferencia en la Universidad de Kyoto en la que afirmó: "La clave que me llevó a formular la teoría de la relatividad fue un profundo análisis del concepto del tiempo". Más de 100 años después, la física moderna sigue sin encontrar una explicación satisfactoria al que probablemente es uno de los más grandes problemas de la Física: la naturaleza fundamental del tiempo.


Antes del siglo XX nuestra imagen intuitiva de un tiempo clásico que fluye de forma continua y homogenea para todos los observadores quedaba perfectamente plasmada en las ecuaciones de la mecánica Newtoniana. A principios del siglo XX tuvieron lugar dos enormes revoluciones en la física que cambiarían nuestra forma de ver el mundo para siempre. La primera de ellas, la relatividad general, destruyó por completo esa intuitiva y "apacible" imagen Newtoniana del tiempo. La segunda de ellas, la mecánica cuántica, cambió radicalmente nuestra forma clásica de entender el mundo, sin embargo, de forma algo paradójica, no alteró substancialmente la imagen clásica del tiempo: este seguía siendo un parámetro externo, continuo y absoluto. Para muchos físicos esto no es aceptable: debemos aplicar la segunda gran revolución también al concepto del tiempo. Es muy probable que hasta que no encontremos la forma de conseguir esto no tendremos una imagen completa del Universo que habitamos y de nuestras teorías físicas más fundamentales.


En este artículo profundizaremos en la naturaleza fundamental del tiempo, para ello, trataremos de visualizarlo de una forma completamente diferente a la que estamos acostumbrados y descubriremos una visión radicalmente diferente de nuestro Universo: un Universo con un tiempo que transcurre según las contraintuitivas leyes del mundo cuántico. Futuros estudios y proyectos experimentales nos dirán si este es nuestro Universo real.


Reflexiones acerca del tiempo en relatividad general


Imaginar dos relojes en la superficie de la Tierra, arrojo uno hacia arriba y dejo el otro inmóvil en el suelo. Cuando cae el primer reloj comparo sus lecturas y compruebo horrorizado que no coinciden ¿Que lectura es correcta? ¿Que reloj marca el tiempo real? Es evidente que estas preguntas no tienen sentido. Este ejemplo deja claro que lo primero que debemos hacer es tratar de borrar de nuestra mente la imagen clásica y obsoleta del tiempo. Con este fin, repasaremos brevemente las principales conclusiones sobre la naturaleza del tiempo en relatividad general:


1º) No existe el tiempo absoluto, no existe un sistema de referencia con un reloj privilegiado, el tiempo para cada observador fluye a un ritmo diferente.

2º) Para hacer medidas en relatividad general necesitamos acoplar dos relojes, no tiene sentido una medida de tiempo aislada, solo la diferencia entre dos relojes tiene sentido.

3º) Las diferencias entre dos relojes dependen del trayecto seguido en el espacio-tiempo cuatridimensional, concretamente, de las diferencias en la métrica asociada a cada trayecto.

4º) La métrica de cada trayecto cambia de forma dinámica en función de la masa-energía, es decir, el espacio-tiempo (gravedad) y la materia interaccionan constantemente de forma dinámica.


Con estas cuatro reflexiones (contraintuitivas pero clásicas) acerca del tiempo intentaremos realizar el otro gran salto conceptual: el paso del tiempo clásico al tiempo cuántico.

Diferencias en el tiempo de la Mecánica Cuántica y de la Relatividad General


Como hemos visto brevemente en el apartado anterior, en relatividad general el tiempo es dinámico y no absoluto, es decir, depende de la geometría del espacio-tiempo que a su vez depende de los campos de materia. De hecho, la relatividad predice una interacción dinámica entre la geometría (gravedad) y los campos de materia.


Sin embargo, en el formalismo matemático de la mecánica cuántica el tiempo es absoluto y no dinámico, es decir, es un simple parámetro exterior que no depende de otras variables (esto puede verse claramente en la ecuación de Schrodinger), es más, el tiempo ni siquiera es un operador como lo son el resto de magnitudes observables en mecánica cuántica.


Estas contradiciones entre nuestras dos principales teorías fundamentales constituye el denominado problema del tiempo. ¿Como podemos tratar de reconciliar dos visiones tan diferentes? Aunque aún no poseemos una teoría cuántica de la gravedad podemos intentar realizar una primera cuantización de las ecuaciones de la relatividad general y analizar la forma que adquiere ese tiempo "cuantizado".


La mecánica cuántica como una suma de historias de Feynmann


Antes de describir la cuantización de la relatividad general describiremos brevemente la formulación de la mecánica cuántica descubierta por Feynman. Esta formulación es totalmente equivalente a la formulación estándar de Schrodinger y Heisenberg.

Consideremos una partícula inicialmente en la posición x1 en el instante t1. ¿Cual es la probabilidad de que esta partícula se encuentre en el punto xn en el instante tn?

Feynman descubrió que esta probabilidad equivale a sumar la contribución de todos los posibles trayectos entre x1 y xn:

Para encontrar la probabilidad de que una partícula en el punto x1 en el tiempo t1 se encuentre en el punto xn en el tiempo tn hay que evaluar las probabilidades de todos las posiciones intermedias (x2,x3,...xn) lo que equivale a tener en cuenta todas las trayectorias posibles entre x1 y xn


En concreto la probabilidad es:




Donde D[x(t)] es un funcional que implica una suma de todos los posibles trayectos (funciones) que comenzando en el punto x1 alcanzan el punto xn. La integral de Lclassical es la acción (S) y básicamente es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial de la partícula. Los trayectos en los que la variación de la acción es cero o muy pequeña (principio de la mínima acción) son los más probables mientras que los trayectos con gran variación de S son altamente improbables, por eso, a distancias macroscópicas nosotros observamos la trayectoria clásica que es la más probable (básicamente la que consume menos tiempo).













Cada posible trayectoria entre los puntos x1 y x2 tiene asociada una acción S. A distancias macroscópicas la trayectoria con la menor acción prevalece en la suma ya que es la más probable. Por esto no apreciamos superposiciones a distancias macroscópicas y solo detectamos un mundo clásico.


La conclusión del trabajo de Feynman es otro duro revés a nuestra visión intuitiva del mundo: en el mundo cuántico la trayectoria de una partícula no es una trayectoria concreta entre dos puntos del espacio-tiempo sino que es una suma ponderada de todas las trayectorias posibles.

La extraña ecuación de la gravedad cuántica


En 1926 Erwin Schrödinger publicó un trabajo en el que consiguió describir la dinámica completa de un átomo de hidrógeno partiendo únicamente de la ecuación de Schrödinger del electrón acoplado al potencial eléctrico. Schrödinger partió del Hamiltoniano de un electrón dentro de un potencial eléctrico:




A continuación convirtió el cuadrado de la variación de la acción (multiplicada por hi) en una función de onda cuántica PSI(x,t) que contiene toda la información sobre dinámica del sistema:




En 1965 los físicos Jhon Wheeler y Bryce DeWitt decidieron aplicar la misma exitosa estrategia a las ecuaciones de la gravedad de Einstein. Para ello partieron de las ecuaciones de la relatividad general en su formulacion Hamiltoniana-Jacobiana:




(qabc son los componentes de la metrica tridimensional, R[q] es el escalar de Ricci y S[q] es el funcional de Hamilton-Jacobi) y de forma análoga al trabajo de Schrödinger transformaron el cuadrado del funcional en una función de onda cuántica que contiene toda la información sobre todas las posibles geometrías que cumplen las ecuaciones de Einstein:




Esta ecuación se denomina la ecuación de Wheeler-DeWitt y la función de onda PSI[q] puede considerarse una especie de función de onda del Universo. Como veremos esta expresión posee cualidades extraordinarias aunque tremendamente complicadas de aplicar e interpretar. Una de las virtudes fundamentales de esta ecuación es que constituye la primera expresión fundamental sobre gravedad cuántica y además no depende de un espacio-tiempo preestablecido, por tanto, esta ecuación no describe lo que sucede en el espacio-tiempo sino lo que sucede con el espacio-tiempo en si mismo.


Un Universo atemporal compuesto de una superposición de geometrías


La primera propiedad, la que parece más "exótica" de la ecuación de Wheeler-DeWit (WdW) es que no depende del tiempo, solo depende de la métrica tridimensional. ¡La variable temporal ha desaparecido! A primera vista esto parece algo muy extraño, sin embargo, esto es debido a la peculiar forma en que la relatividad general trata la variable temporal: el tiempo no se define en un instante sino a lo largo de una "linea de mundo" del objeto que queremos medir. La variable temporal t en relatividad general no tiene sentido físico, la magnitud de tiempo medible es el denominado tiempo propio:



Por tanto, el tiempo no depende de un parámetro externo t sino de una suma (una integral) a lo largo de un trayecto que es una función que depende de q y de dq/dt y la información sobre estas dos variables se encuentran disponibles en la expresión jacobiana de la ecuación de WdW.


La segunda propiedad "extraña" es la interpretación de la función de onda PSI[q]. Esta puede entenderse como la función de onda del campo gravitatorio del Universo, es decir, una especie de función de onda del Universo. Como vimos anteriormente esta función de onda surge a partir del funcional S[q] en la formulación Hamiltoniana-Jacobiana de la relatividad general. Un funcional es una suma de todas las funciones que cumplen el requisito impuesto, por tanto, la funcion de onda psi[q] comprende todas las geometrías tridimensionales permitidas por la relatividad general.


Si queremos visualizar algo parecido a un tiempo cuántico, deberiamos imaginar una "superposición" o una "fluctuación" a nivel fundamental entre posibles "lineas de mundo" (entre posibles Universos en la ecuación de WdW). A partir de lo que hemos visto podemos hacer la siguiente especulación: la función de onda global del Universo contiene muchas geometrías posibles de forma que el espacio y el tiempo "fluctuan" entre diferentes geometrías. La probabilidad de observar una u otra geometria (medida) viene dada por la suma ponderada de todos los trayectos posibles. La medida equivaldría, a acoplar dos relojes a una linea de mundo (Universo) concreta.







Imagen extraida de: La teoría de la relatividad


Esta visión del Universo estaría vinculada a la denominada interpretación de la mecánica cuántica de los muchos mundos de Hugh Everett, de hecho, la imagen que obtenemos a partir de la ecuación de Wheeler-DeWitt no es compatible con la interpretación de Copenhage de la mecánica cuántica ya que esta necesita de la existencia de un mundo clásico en el que se materializa el resultado de la medida. En esta interpretación la función de onda es real, no "colapsa" y todas los valores posibles existen realmente. De esta forma no es necesario invocar un "oscuro" e inexplicable proceso irreversible y no unitario que produce el colapso de la función de onda (1) y las ecuaciones fundamentales mantienen el caracter lineal de la ecuación de onda de Schrodinger. Un dato importante a señalar es que el trabajo original de Hugh Everett III

no menciona para nada las palabras "muchos mundos" o "muchos Universos", de hecho su trabajo original se llama "Theory of Universal Wave Function". Everett simplemente explica que para cada posible resultado de una medida existe exactamente un observador que "registra" el resultado de esa medida. Esto ha llevado a muchos físicos a postular la existencia de muchos mundos, uno para cada resultado posible, sin embargo, como el propio Everett explicó, esta interpretación es errónea y es debida a nuestra necesidad de interpretar el mundo de forma clásica.


El estado de Hartle-Hawking del Universo


En la práctica la ecuación de Wheeler-DeWitt es muy difícil de resolver y solo se puede hacer de forma aproximada considerando finitos grados de libertad y estableciendo ciertas condiciones de contorno. Una de las soluciones más conocidas e influyentes de la ecuación de WdW es la llamada propuesta de no-contorno de Hartle-Hawking.

Esta propuesta surge al aplicar dos condiciones fundamentales:


1º) Dada una suma (integral de camino) de posibles geometrías solo serán permitidas aquellas que produzcan un Universo como el que observamos actualmente, lo que implica que la suma se realizará solamente sobre geometrías continuas que no poseen singularidades.


2º) Las condiciones iniciales son las correspondientes a un espacio-tiempo Euclideo. Este espacio-tiempo surge al permitir que la coordenada temporal tome valores complejos (el famoso tiempo complejo que popularizó Hawking). Esto produce que la coordenada temporal de la métrica Lorenziana cambie de signo negativo a signo positivo (al multiplicar por -1) lo que conlleva que el tiempo se comporte realmente como una coordenada espacial (coordenadas con signo positivo):

En la propuesta sin borde de Hartle-Hawking el Universo surge de un espacio-tiempo con 4 dimensiones espaciales ya que la cuarta dimensión (el tiempo) se comporta como una coordenada espacial más. De esta forma el Universo no tiene "bordes" ni singularidades, no ha existido un tiempo inicial y por tanto preguntarse que había antes tiene el mismo sentido que preguntar que hay más al Sur del polo Sur de la Tierra.

Imagen extraída de: El último artículo de Hawking a la Naukas


Al aplicar estas dos condiciones Hartle y Hawking encontraron algo impresionante: el Universo más probable es uno que comienza con un breve periodo de inflación cósmica después del cual surge un gran periodo de expansión acelerada. Justo despues de la inflación (el Big-Bang) la cuarta dimensión espacial se "abre" y pasa a comportarse como una dimensión temporal ¡Este modelo presenta una hipótesis factible de la posible creación cuántica y evolución de nuestro Universo! Antes de esta propuesta muchos físicos opinaban que algo asi estaba fuera del alcance de la ciencia.










Imagen extraída de: El último artículo de Hawking a la Naukas


Además, esta propuesta nos da varias pistas muy valiosas sobre la posible naturaleza del tiempo:


- El tiempo surge a partir de una región Euclidea con tiempo imaginario. En esta región (a escala cuántica) las nociones de espacio y tiempo usuales dejan de tener su significado habitual, de hecho, esta región puede considerarse una especie de "burbuja de nada" donde no existen campos cuánticos, ni espacio, ni tiempo.

- A pequeñas escalas existe una interferencia cuántica entre diferentes "espacio-tiempos" (de forma similar a como en la integral de camino de Feynmann una partícula toma todos los caminos posibles) pero cuando las escalas son grandes la interferencia entre espacio-tiempos es "destructiva" y prevalece un espacio-tiempo clásico (de forma similar a como en la integral de camino de Feynmann la trayectoria clásica prevalece cuando las distancias son grandes).

- La llamada cosmologia cuántica estudia nuestro Universo completo a partir de una función de onda Universal. De esta forma cada posible valor de la función de onda (autovalores) es un posible Universo y pueden asignarse probabilidades a cada posible Universo.


Conclusiones


Aún no tenemos una respuesta sobre la naturaleza fundamental del tiempo. La ecuación de WdW es muy difícil de interpretar y posee varios problemas técnicos que la hacen muy difícil de aplicar en la práctica. Sin embargo, nuestras formulaciones matemáticas sobre gravedad cuántica, aunque aún incompletas, apuntan claramente a una especie de "suma de geometrías", "suma de historias" o "suma de Universos" y la noción de tiempo cuántico debe incluir una interferencia entre diferentes espacio-tiempos a nivel fundamental. Esta nueva visión del Universo supone un enorme salto conceptual equiparable al que supuso la relatividad general o la mecánica cuántica y nos permite solucionar el gran problema del tiempo inicial: no existió una singularidad inicial, nuestro Universo-Multiverso ha existido "desde siempre" y el tiempo surgió a partir de un espacio-tiempo Euclideo a través de un periodo de inflación donde nació el Universo que observamos hoy.


Notas:


(1) Aunque el concepto de colapso de la función de onda puede considerarse obsoleto al ser substituido por el proceso de decoherencia este último sigue sin resolver el problema de la medida ya que sigue existiendo una superposición de estados entre el sistema medido y el aparato de medida


Fuentes: The strange equation of quantum gravity, How Richard Feynman Reinvented Quantum Theory, El último artículo de Hawking a la Naukas

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