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EL MISTERIOSO MUNDO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Actualizado: 18 de oct de 2019

Es algo más que trivial imaginar 4 manzanas por ejemplo, si yo le pido que imagine 3/4 de manzana tampoco tendrá mayores dificultades, sin embargo, si le pido que imagine pi manzanas, -4 manzanas o peor aún raiz de -4 manzanas entonces la cosa se pone bastante fea. Por otro lado, nadie duda de que por ejemplo el número pi o el número raiz de 2 (la diagonal de un cuadrado de lado 1) están presentes en la naturaleza (a pesar de tener un número infinito de cifras decimales), es decir, "existen" de alguna forma, sin embargo, el número -4 no parece "existir" en ninguna parte de la naturaleza y no digamos el número raiz de -4.

Las operaciones aritméticas suma y resta son claramente complementarias, al igual que el producto y la división y la exponencial y la raiz cuadrada. Debido a esto, de forma natural surgen los números negativos al restar a un número otro mayor que él, los números irracionales al hacer por ejemplo la raiz de 2 y por último los números complejos al hacer la raiz de un número negativo. Los números complejos desde que fueron descubiertos han generado una gran controversia: todo el mundo está de acuerdo en que la raiz de -1 no existe, es una invención matemática, sin embargo, todo el que este familiarizado con las matemáticas sabe que la raiz de -1 (i) tiene una función clave y fundamental dentro de todo el edificio matemático y aparece constantemente en modelos matemáticos de sistemas físicos como en circuitos eléctricos o en la teoría de la mecánica cuántica. Entonces, la pregunta fundamental es: ¿Que son los números complejos? ¿Existen realmente o sólo son un invento de los matemáticos para poder hacer ciertos cálculos?

Aún admitiendo que los números complejos no parecen tener una "existencia" en el mundo físico real no podemos negar que las características del "mundo paralelo complejo" influyen y determinan las características del mundo de los números "reales". Para darnos cuenta de la veracidad de ésta increíble afirmación voy a exponer varios ejemplos que ponen de relieve esta conexión entre los números complejos y el mundo físico real:


1º) La identidad de Euler

La identidad de Euler es probablemente una de las más bellas (y enigmáticas) fórmulas matemáticas ya que relaciona de forma increíblemente sencilla tres de los números más importantes de la matemática: exp(iPI)=-1. Echando un primer vistazo a esta fórmula nos damos cuenta de lo sorprendente de la misma: si tomo el número e (un número irracional con infinitas cifras decimales) y lo elevo a pi (otro número irracional) multiplicado por el misterioso número i !obtengo un número natural! . En 1748 Euler encontró algo sorprendente cuando empezó a dar valores complejos a funciones conocidas. Cuando doy valores reales a la función 2^x se obtiene una gráfica que asciende rápidamente (una función exponencial), sin embargo, cuando se introducen números complejos se encuentra que la función en vez de crecer exponencialmente oscila periódicamente: es una función sinusoidal. Euler encontró que e^ix= cosx+ isenx. Este descubrimiento puso de manifiesto la profunda conexión geométrica entre números trascendentes "reales" como son pi y "e" y el mundo de los números complejos. Algunos incluso se hicieron la pregunta: ¿ Están los valores de los números especiales como pi o e determinados de alguna forma por las características del mundo complejo? ¿Son estos números y todos los números reales "sombras" del mundo complejo proyectadas sobre el mundo "real"?


2º) Convergencia de series matemáticas

La convergencia de ciertas series matemáticas se produce cuando se cumplen ciertas condiciones para los valores de x sin embargo, hay que tener en cuenta todo el dominio complejo, no basta solamente con tener en cuenta valores "reales" para explicar la convergencia. Por ejemplo, las series 1/1-x= 1+x+x^2+... y ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-... son convergentes solo si |x|<1 lo cual no es sorprendente teniendo en cuenta que poseen una discontinuidad en x=1. Sin embargo, la serie 1/1+x^2= 1-x^2+x^4-... también converge solamente cuando |x|<1 y sin embargo parece que no hay ningún punto de discontinuidad en x=1 ¿No lo tiene? En el plano real no pero al considerar todo el plano complejo encontramos que tiene una discontinuidad precisamente en x=i o sea en |x|=1 por lo que se encuentra en el mismo caso que las anteriores. Otra prueba de la "realidad" del mundo complejo.


3º) El teorema fundamental del álgebra

¿Cuantas soluciones tiene una ecuación algebraica cualquiera? La ecuación de 2º grado x2-1=0 que determina el lado de un cuadrado tiene 2 soluciones: +1 y -1. De esta forma encontramos que la ecuación de 3º grado x3-1=0 que determina el lado de un cubo tiene 3 soluciones y la ecuación de 4º grado x4-1=0 que determina el lado de un hipercubo tiene 4 soluciones. El teorema fundamental del álgebra nos dice que el número de soluciones coincide con el grado de la ecuación correspondiente. Sin embargo, estas soluciones son tanto "reales" como "imaginarias". Las matemáticas nos dicen que hay dos formas de construir un cuadrado de lado 1: con un lado de longitud 1 o con un lado de longitud -1. ¿Pero que significa un cuadrado de lado -1? Como vamos a tratar de explicar, el signo solo significa el sentido de la dirección espacial, pero en una dirección especial dentro de una especie de "geometría abstracta". Para intentar de encontrar algo de significado a todo esto vamos a ver la operación de elevar al cuadrado de la misma forma en que lo veía hace más de 200 años uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos, Carl Friedrich Gauss:




Es decir la acción de "cuadrar" se puede entender como el acto de realizar un giro de 45º y de doblar la longitud del lado. Gauss asoció los números complejos con este tipo de acción (rotación más extensión). De esta forma se asocia a la acción de "cuadrar" una figura espiral:



Consideremos ahora un círculo que representa la unidad en el dominio complejo (ver figura 5). El centro del círculo es el origen, los extremos del diámetro son 1 y -1. Entonces, la raíz cuadrada de -1 se encuentra al dividir en dos la rotación entre 1 y -1 y reduciendo el radio por la raíz cuadrada. De esta forma encontramos que los puntos sobre la circunferencia que se encuentran en medio de 1 y -1 representan a raiz de-1 y -raiz de -1 (ver figura 5). Gauss denominó este esquema geométrico abstracto "el dominio cognoscitivo del principio de cuadrar". Gauss demostró que por ejemplo al realizar el cubo de un número hay que triplicar el ángulo de rotación y triplicar la longitud, esto hace que el círculo original se proyecte 3 veces en un círculo cuyo radio es el triple que el original. Si elevamos a la 4ª potencia se proyectará 4 veces y así sucesivamente. Esta visión (aunque parezca totalmente artificial y ajena al mundo físico real) junto con este último argumento le sirvió a Gauss para demostrar en 1799 nada menos que el teorema fundamental del álgebra. Gauss consideró que los números complejos se hallan en un grado de abstracción superior al de los números "reales" y que de alguna forma nosotros sólo captábamos las sombras de este mundo complejo proyectadas en nuestro mundo real. Parece que a través de nuestras herramientas matemáticas podemos "atravesar el espejo" y explorar este mundo complejo para conseguir, analizando las sombras proyectadas, deducir propiedades del mundo real. Esta incursión de Gauss en el mundo complejo tuvo un resultado espectacular: nada menos que la demostración del teorema fundamental del álgebra. Años después, el matemático Bernard Riemann realizó otra incursión en el mundo complejo con resultados aún más espectaculares que tuvieron como consecuencia la formulación de una hipótesis fundamental para la estructura del edificio matemático y cuya demostración constituye uno de los retos más importantes y trascendentes de la historia del conocimiento humano: la hipótesis de Riemann.


4º) La hipótesis de Riemann

Desde hace muchos siglos se sabe que los números primos (NP) son números especiales: cualquier número se puede construir como producto de números primos. Es decir los NP son los átomos o ladrillos con los cuales se construyen todos los demás números. Es más, de alguna forma son los átomos de la matemática ya que la teoría de números está claramente en el corazón de la matemática. Desde hace mucho tiempo se sabe también que hay infinitos números primos, sin embargo, la pregunta fundamental es: ¿Que determina el orden en que aparecen los NP? . ¿Como calcular cual va a ser el próximo NP? El orden en que aparecen lo NP parece totalmente impredecible y aleatorio y parece no haber ninguna pauta que determine cual va a ser el próximo NP. Gauss consiguió establecer que el número de NP que hay en un intervalo determinado está determinado de forma aproximada por la ecuación: pi(x)= x/ln(x). Posteriormente los matemáticos encontraron una extraña conexión entre los NP y una sucesión matemática denominada función zeta: f(x)=1/1^x+1/2^x+1/3^x...+1/n^x. Sin embargo no fue hasta 1959 cuando Bernard Riemann publicó su espectacular hallazgo. Riemann cruzó el espejo como Alicia en el país de las maravillas y estudió la forma de la función z en el dominio complejo, a pesar de la dificultad (se trata de una forma en 4 dimensiones) Riemann fue capaz de visualizar su forma general y fue capaz de calcular una serie de puntos singulares de la gráfica: los puntos en los que los números imaginarios tienen imagen cero, es decir, las SOMBRAS que produce la gráfica compleja. Estos puntos singulares contienen información clave sobre el comportamiento general de toda la gráfica compleja y se denominan "ceros de la función zeta". Riemann hizo un descubrimiento sorprendente: todos los ceros que pudo calcular estaban situados en una recta "la recta mágica de Riemann" que es la recta que pasa por el valor real 1/2. Pero Riemann hizo un descubrimiento todavía más espectacular: encontró una formula que utilizaba la posición de los ceros de la función zeta y que daba el valor EXACTO de la cantidad de NP dentro de un intervalo cualquiera: !Los ceros de la función zeta indicaban el número exacto de NP! Esta conexión entre los NP (los pilares de la matemática) y las "sombras" del mundo complejo es probablemente la prueba más espectacular que se ha encontrado que liga el extraño mundo complejo con el mundo real en el que vivimos. Actualmente la demostración de la hipótesis de Riemann (es decir que los infinitos ceros de la función zeta se encuentran todos en la "recta mágica") constituye uno de los problemas abiertos más importantes y difíciles de resolver de toda la historia de la matemática (se ofrece 1 millón de dolares a quien consiga demostrarla) ya que miles de teoremas matemáticos incluidos muchos que tratan de los fundamentos mismos de la teoría de números dependen de si la hipótesis es cierta o no.


Fuentes: El teorema fundamental del álgebra, Intuición y matemática, V.Boss, 2003, La música de los números primos Marcus du Sautoy, 2007

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