¿QUE SON LAS MATEMÁTICAS?
22-12-2011
Este artículo es una contribución a la edición 2.9 del carnaval de matemáticas que
en esta ocasión se aloja en la web Que no te aburran las mates.
"El gran libro de la naturaleza puede ser leído solamente por aquellos que conocen el lenguaje en el que
está escrito. Y ese lenguaje es el de la matemática"
Galileo Galilei
¿Que son las matemáticas? ¿Por que una herramienta "inventada" por los hombres describe tan detalladamente
casi todos los fenómenos que existen en nuestro universo?
Si preguntamos a un grupo de personas escogidas de forma aleatoria ¿Qué son las matemáticas? seguramente
encontremos respuestas del tipo "Las matemáticas son las reglas de como hacer cálculos" o "Las matemáticas
son la ciencia de los números" o incluso respuestas del tipo "Las matemáticas son lo que hacen los matemáticos
para ganarse la vida". Para intentar acercarnos a una respuesta más completa y acertada vamos a tratar de
describir primero cuales son los campos de estudio de las matemáticas.
Actualmente existen muchísimas ramas distintas de la matemática, la Sociedad Americana de Matemáticas
es capaz de distinguir hasta 5000 ramas distintas. Sin embargo, todas estas ramas se pueden clasificar de
forma general y suficiente para nuestro propósito en 7 grandes grupos:
1º) La aritmética y la teoría de números: Estas ramas estudian las estructuras de los números y del proceso de
contar.
2º) La geometría: Esta rama estudia las estructuras de las formas.
3º) El cálculo: Esta rama nos permite tratar las estructuras del movimiento.
4º) La lógica: Esta rama estudia las estructuras del razonamiento.
5º) La estadística y la teoría de la probabilidad: Estas ramas tratan de las estructuras del azar.
6º) La teoría de grupos: Esta rama estudia las estructuras de la simetría.
7º) La topología: Esta rama estudia las estructuras de la proximidad y de la posición.
En esta clasificación hay una palabra que se repite continuamente y es la palabra "estructura". Esta palabra
nos permite dar una respuesta a nuestra pregunta con la que la mayoría de los matemáticos estaría de acuerdo
en la actualidad: Las matemáticas son la ciencia de las estructuras. Por "estructuras" se entiende un
conjunto de relaciones abstractas que comprenden y permiten el estudio de los números, de las formas, del
movimiento, del razonamiento lógico, del azar, de la posición, de la simetría o de la proximidad.
Estas estructuras pueden ser reales o imaginarias, visuales o mentales, estáticas o dinámicas, cualitativas o
cuantitativas, útiles o solo con un interés recreativo. Pueden tener su origen en el mundo que nos rodea, en
las profundidades del espacio y del tiempo o provenir exclusivamente de la actividad de la mente humana.
Debido a que el ámbito de aplicación de las matemáticas es tan amplio no nos debemos extrañar de que las
matemáticas estén en todos los sitios: votaciones electorales, aerodinámica de los aviones, telecomunicaciones,
la música, el lenguaje, la medicina, la física de partículas, la astronomía, la neurología, la biología, en la
construcción de una casa o una carretera o en el proceso de lectura-etiquetado de un supermercado. Sin las
matemáticas no existiría prácticamente ninguna de las tecnologías actuales y nuestra comprensión del mundo
no hubiese pasado de la que se tenía hace unos 500 años. Esta claro que las matemáticas nos permiten
describir y explicar el universo en el que vivimos, esto nos lleva a nuestra segunda gran pregunta: ¿Por qué
el universo "funciona" según las reglas de la matemática? ¿Son las matemáticas una mera invención humana o
realmente "existen" en el universo con independencia de la mente humana?
Para intentar dar una respuesta a estas preguntas primero hay que tener en cuenta algunas características
fundamentales de las matemáticas:
1º) Para utilizar y plasmar de forma tangible y útil las distintas relaciones entre estructuras abstractas las
matemáticas necesitan el uso de un lenguaje simbólico. Este lenguaje simbólico comprende desde el uso
de símbolos para denotar a los números y sus operaciones básicas como símbolos para denotar
operaciones más complejas como integrales o matrices. Es evidente que estos símbolos son una invención
humana, sin embargo, las estructuras y las relaciones entre estructuras que representan estos símbolos no
son una invención humana, estas estructuras "existen", están ahí independientemente de si hay o no
matemáticos para estudiarlas.
2º) Las matemáticas son la única ciencia no empírica, es decir, no dependen de demostraciones
experimentales. Esto tiene una importante consecuencia: si las premisas y los razonamientos lógicos
en los que se basa la demostración de un teorema matemático son ciertos, el teorema matemático
representa desde este punto de vista una verdad absoluta y totalmente objetiva, es decir, no dependen
de subjetividades, prejuicios, preferencias o errores derivados de la actividad humana. Por ejemplo la
suma y la multiplicación de 2 números cumplen las propiedades conmutativa y asociativa y entre un
número cualquiera y su doble siempre hay un número primo, esto es así, ha sido siempre así y siempre
será así, independientemente de cualquier persona, cosa o entidad presente pasada o futura. Difícilmente
una característica tan excepcional puede derivarse de una mera invención humana..
3º) Puede haber distintos desarrollos matemáticos que representen a la misma estructura y al revés
puede haber distintas estructuras representadas por el mismo desarrollo matemático. Un ejemplo de
la primera clase sería por ejemplo la mecánica clásica que se puede formular mediante dos desarrollos
matemáticos totalmente distintos pero equivalentes: la mecánica newtoniana y la lagrangiana. Un
ejemplo de la segunda clase podría ser el formalismo de la teoría de cuerdas, formulado en principio
para cuantizar la gravedad pero que también parece describir el comportamiento de la materia a
altísimas temperaturas.
4º) Una parte de la matemática no parece tener conexión alguna con el mundo físico real. De
alguna forma es como si las matemáticas captaran todas las estructuras posibles de las que la naturaleza
"eligió" solo algunas de ellas. Esta parte de la matemática se suele llamar "matemáticas puras" en
contraposición de las llamadas "matemáticas aplicadas" si bien es cierto que parte de aquellas, con el
tiempo, acaban encontrando alguna aplicación práctica y por tanto alguna conexión con el mundo real.
5º) Los modelos matemáticos de sistemas complejos se consideran a menudo como una aproximación
a la realidad. Muchas veces esa aproximación es debida a la omisión de alguna de las numerosas variables
que intervienen en el complejo proceso. También es posible que fenómenos emergentes no tenidos en cuenta
intervengan también.
Conclusiones:
Todas estas características de las matemáticas parecen indicar que si bien éstas son "creadas" por la mente
del hombre y ciertas características de las mismas (como la notación simbólica) son sin duda una invención
humana, las estructuras a las que representan, relacionan y cuantifican existen sin ninguna duda en
el mundo que nos rodea. Las matemáticas existen en base a las estructuras que representan, es una existencia
no física sino como una representación de la relación entre entidades que si existen: las estructuras.
El físico Eugene Wigner formuló una pregunta que ha pasado a la historia de una forma resumida como
"la inexplicable eficacia de las matemáticas". En cierta ocasión leí una posible "explicación" a esta
afirmación que más o menos viene a decir lo siguiente: las matemáticas captan, cuantifican y relacionan las
distintas estructuras que forman el mundo ordenado en el que vivimos. Un mundo complejo como el nuestro
ha de ser ordenado, ha de tener unos patrones ya que este tipo de mundo es mucho más probable que prospere
(evolucione en el tiempo) que uno sin orden ni regularidad alguna.
Fuentes: El lenguaje de las matemáticas. Keith Devlin.
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