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un modelo basadoINICIO
Hace poco más de dos siglos que vivimos en lo que podemos considerar civilizaciones modernas. En
este brevísimo periodo de tiempo la humanidad ha pasado de fabricar la primera máquina de vapor a
presentar modelos teóricos viables sobre la naturaleza última del espacio y el tiempo. Esta última
cuestión representa probablemente la pregunta más fundamental y trascendente de la Física. Es difícil
imaginar como una especie de homínidos cuyo cerebro fue "diseñado" originalmente por la evolución
para sobrevivir puede soñar siquiera con acercarse a responder esta cuestión. Aunque parezca increíble
ya tenemos algunos modelos que nos permiten vislumbrar la respuesta a la "última frontera de la ciencia".
Aunque suene un poco soberbio, en este artículo
vamos a "jugar a ser dios" utilizando
un modelo basado
en la teoría de cuerdas vamos a ver que le sucede a la geometría del espacio-tiempo cuando modificamos
el valor de cierta magnitud física conservada. Utilizando la metáfora de un "dios" que juega con el Universo
modificando un simple dial empezaremos a vislumbrar la posible naturaleza última del propio espacio-tiempo.
La correspondencia AdS/CFT
En 1997 el físico teórico Juan Maldacena publicó el que sería el trabajo más citado de la historia de la física
teórica. En este trabajo presentó el que probablemente es el avance más importante sobre gravedad cuántica
de las últimas décadas. La conclusión de este trabajo es sencilla pero increíblemente poderosa: una teoría
cuántica de campos (conforme) definida en D dimensiones es físicamente indistinguible de una teoría de la
gravedad (cuántica) definida en un espacio-tiempo AdS en D+1 dimensiones. Este es un ejemplo grandioso
del poder de la Física-Matemática: dos sistemas completamente diferentes (con y sin gravedad y definidos
en distintas dimensiones) son físicamente equivalentes. Esto es posible básicamente porque las simetrías y los
operadores cuánticos que definen ambos sistemas son los mismos. El gran poder de esta correspondencia es
que por primera vez podemos explorar características de la gravedad cuántica (el lado AdS) simplemente
analizando las características de sistemas cuánticos ordinarios (lado CFT). Metafóricamente hablando es
como si analizando las propiedades de un circuito electrónico pudieras obtener información sobre el
espacio-tiempo que lo contiene.
Uno de los problemas más importantes que presenta el estudio de esta correspondencia es que para estudiar
situaciones en las que la gravedad es débil (similares al entorno donde vivimos) en el lado AdS debemos computar
sistemas cuánticos donde la fuerza de las interacciones es muy fuerte en el lado CFT y esto no sabemos realizarlo.
De forma contraria si estudiamos sistemas débilmente acoplados en el lado CFT estamos describiendo sistemas
con una gravedad enorme en el lado AdS (agujeros negros) y no comprendemos bien sus características.
Afortunadamente hay una solución a este problema: utilizar el llamado "sector 1/2 BPS" que nos ofrece las
propiedades supersimétricas de ambos sistemas.
El sector 1/2-BPS
Tanto la parte AdS de la dualidad como la parte CFT usan una simetría especial denominada Supersimetría.
Esta simetría establece una equivalencia entre las partículas que forman la materia (partículas de spin 1/2 o
fermiones) y las que constituyen las interacciones (partículas de spin 1 o bosones). La característica fundamental
del sector 1/2-BPS es que cuando aumentamos el acoplamiento (la fuerza de las interacciones) este sector de
la teoría que contiene la mitad de los estados se "desacopla" y mantiene su supersimetría para cualquier rango
de energía, es decir, permanece inalterado para todos los rangos de energía. ¡Esto nos permite estudiar las
características de la gravedad cuántica en el lado AdS a pesar de tener un acoplamiento fuerte en el
lado CFT! Este sector queda definido por el valor de una magnitud conservada denominada R-carga, que está
relacionada con la velocidad angular J. Esta magnitud será nuestro "dial". A continuación veremos que le sucede
a la gravedad y por tanto a la geometría del espacio-tiempo en el lado AdS según modificamos el "dial" de la
R-carga en el lado CFT.
La geometría para R<<N
Comenzamos con el dial en su parte más baja. Esto significa que el valor de la R-carga es mucho menor que el
número de constituyentes fundamentales del sistema cuántico N. La dualidad implica que para cada operador
cuántico del lado AdS existe un operador dual en el lado CFT. Cuando R es pequeño la energía del sistema es
baja y los cálculos se pueden realizar mediante la función partición expresada como una integral de camino. Los
cálculos demuestran que los operadores duales (en el lado AdS) a operadores con R<<N (en el lado CFT)
representan objetos de dimensión 0, es decir, objetos puntuales, estos objetos son ¡gravitones! Por tanto, si
perturbamos un operador de la CFT con R<<N estamos produciendo una perturbación gravitatoria "puntual"
en el lado AdS, es decir, estamos "creando" gravitones.
La geometría para R=√N
La siguiente posición en nuestro "dial" es aquella donde R es del orden de √N. En este caso la energía del
sistema es mayor que el caso anterior y los cálculos indican que los operadores con R=√N del lado CFT
se corresponden con objetos de dimensión 1 en el lado AdS. Estos objetos son ¡cuerdas! Además de esto,
los cálculos indican algo fascinante: el sector 1/2-BPS puede describirse como una serie de matrices complejas
que representan la dinámica de N fermiones libres. Este sistema de fermiones posee un valor medio o valor
esperado que representa el valor medio de spins "arriba" y spins "abajo" del sistema. El resultado más impactante
es que los cálculos demuestran que este valor medio representa ¡la posición de la cuerda en el espaciotiempo
AdS! En principio, ¡ nuestro "dios" podría controlar la posición de la cuerda manipulando el valor medio de la
red de spins !
Imagen esquemática de "dios" modificando la R-carga en el lado CFT y produciendo cuerdas en el lado AdS
La geometría para R=N
A continuación giramos el dial a la posición R=N. Ahora la energía del sistema es tan grande que nuestros
anteriores métodos de cálculo no son válidos y hemos de recurrir a una técnica basada en los denominados
"polinomios de Schur". Esta técnica nos permite realizar los cálculos realizando ciertas suposiciones razonables.
Como dijimos anteriormente la R-carga del lado CFT se corresponde con la velocidad angular del objeto dual
en el espacio-tiempo AdS. Al alcanzar una R-carga del orden de N la velocidad angular del objeto dual es tan
grande que esta supera a la tensión del objeto y este comienza a expandirse. Un objeto extendido en teoría de
cuerdas se denomina brana por lo que el objeto dual en este caso ¡es una D-brana! La D nos indica la
dimensión del objeto extendido que en la teoría de supercuerdas es un número entre 0 y 10.
Imagen esquemática de "dios" modificando la R-carga en el lado CFT y produciendo branas en el lado AdS
Nuevas geometrías: el espacio-tiempo para R=N2
Es ahora cuando nuestro "dios" muestra todo su poder: el cambio de geometría del espacio-tiempo. Cuanto la
R-carga es del orden de N2 algo realmente impresionante comienza a suceder: los objetos duales en el lado AdS
son tan pesados que ¡ comienzan a interactuar con el propio espacio-tiempo ! La consecuencia de esto es que
se produce un cambio en la geometría e incluso la topología del propio espacio-tiempo. La pregunta clave en
este punto es: ¿Podemos determinar la geometría del nuevo espacio-tiempo? Para tratar de averiguar la forma del
nuevo espacio-tiempo podemos introducir una "sonda" en nuestro espacio-tiempo AdS y estudiar sus geodésicas
para averiguar la métrica del nuevo espacio-tiempo. Cual exploradores de nuevos mundos ¡ los físicos teóricos se
lanzan a explorar un Universo con un nuevo espacio-tiempo! Para conseguir esto basta con perturbar el operador
correspondiente en la CFT y comprobar como evoluciona esta perturbación (gravitón, cuerda o membrana) en el
espacio AdS dual mediante las llamadas "funciones de correlación". Si perturbamos un operador correspondiente
a un gravitón encontramos que cuando la R-carga es del orden de N2 la constante de acoplamiento sufre un
cambio repentino, esto es una señal de que se ha producido un cambio en la geometría del espacio-tiempo. Si
utilizamos como sonda una cuerda en lugar de un gravitón encontramos que a partir de cierto valor de R los
extremos de la cuerda se comportan como si no estuvieran sujetos a ningún objeto, como si tuvieran un nuevo
grado de libertad. Esto puede ser interpretado como el movimiento de cuerdas cerradas que están asociadas a
nuevas geometrías del espacio-tiempo. Desgraciadamente, nuestras "sondas" no pueden explorar todo el espacio-
tiempo dual, solo pueden moverse en un entorno limitado cerca de un plano. A pesar de ello podemos hacer una
serie de consideraciones generales para tratar de vislumbrar la geometría global del nuevo espacio-tiempo. En la
formulación original de la dualidad AdS-CFT propuesta por Maldacena la parte AdS tiene 5 dimensiones (AdS5)
y la parte CFT tiene 4 dimensiones. Como la parte AdS esta descrita por supercuerdas esta debe tener 10
dimensiones en total, esto se consigue enrollando las 5 dimensiones sobrantes en una esfera S5. Por tanto la
geometría total en el lado AdS es AdS5xS5. La nueva geometría debe respetar la simetría global RxSO(4)xSO(4)
ya que la simetría y por tanto sus cargas asociadas deben conservarse.
Las llamadas geometrías LLM cumplen con este y otros requisitos y son soluciones generales a las ecuaciones.
Una posibilidad que ofrecen estas geometrías es que la esfera S5 del lado AdS cambie de topología pasando
de una esfera de 5 dimensiones a un objeto 5 dimensional con topología no trivial. Esto puede verse en el
siguiente dibujo:
En la geometría 1 y en la geometría 2 se consigue un espacio-tiempo de 5 dimensiones "fusionando" (fibrando)
una esfera de 3 dimensiones con la superficie bidimensional que aparece sombreada en las figuras.
Conclusiones
Aunque aún nos falta mucho camino por recorrer para explicar la verdadera naturaleza del espacio-tiempo de
nuestro Universo 4-dimensional existen modelos basados en la teoría de supercuerdas que nos indican que
ciertos objetos extendidos (cuerdas y branas) podrían ser los constituyentes fundamentales que estamos buscando.
Además, estos modelos apoyan una hipótesis que cada vez resuena con más fuerza en el mundo de la Física
fundamental: el espacio-tiempo que detectamos a escalas macroscópicas es una propiedad emergente, que surge
debido a la interacción de componentes fundamentales. La Física teórica, armada con el poder de las Matemáticas
está llegando más allá de lo que era posible imaginar un siglo atrás. Los últimos trabajos están explorando nuevas
y apasionantes posibilidades y sin duda los trabajos que están por llegar nos acercarán aún más a la verdadera
naturaleza del increíble Universo que habitamos.
Fuentes: Emergent spacetime, Bubling AdS spaces and 1/2 BPS geometries
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